Question

如图，在⊙O中，BC为⊙O的弦，点A在⊙O内（点O、A在弦BC的同一侧），连接OA、AB，若线段OA的长为8，线段AB的长为12，∠OAB的度数与∠ABC的度数相等，均为60°，则弦BC的长为（　　）

• A、12
• B、15
• C、16
• D、20

Answer 1

考点：垂径定理,等边三角形的判定与性质

专题：几何图形问题

分析：作OD⊥AB，OE⊥BC分别于点D、E，连接OB．作OF∥BC交AB于点F，作FG⊥BC于点G，在直角△AOD中利用三角函数求得OD、AD的长，则BD的长即可求解，根据勾股定理即可求得半径，在直角△BFG中，利用三角函数求得FG的长，即OE的长，然后根据垂径定理和勾股定理即可求解．

解答：解：作OD⊥AB，OE⊥BC分别于点D、E，连接OB．作OF∥BC交AB于点F，作FG⊥BC于点G．
则∠AFO=∠ABC=60°，
∴△AOF是等边三角形，
∴AF=OA=8，
则BF=12-8=4，
在直角△BFG中，FG=BF•sin∠ABC=BF•sin60°=2

3

，则OE=FG=2

3

，
在直角△AOD中，AD=OA•cos∠OAB=8×

1

2

=4，OD=OA•sin∠OAB=8×

3

2

=4

3

，
则BD=AB-AD=12-4=8，
则在直角△OBD中，OB=

OD2+BD2

=

112

，
在直角△OBE中，BE=

OB2-OE2

=

112-12

=10，
∵OE⊥BC，
∴BC=2BE=20．
故选D．

点评：本题考查了垂径定理的应用，以及三角函数的应用，正确作出辅助线是关键．