Question

12．如图，已知一次函数y₁=kx+b的图象与x轴相交于点A，与反比例函数y₂=$\frac{c}{x}$的图象相交于B（-1，5），C（$\frac{5}{2}$，d）两点．点P（m，n）是一次函数y₁=kx+b的图象上的动点．
（1）求k，b的值；
（2）直接写出y₁＞y₂时x的取值范围x＜-1或0＜x＜$\frac{5}{2}$；
（3）已知-1＜m＜$\frac{3}{2}$，过点P作x轴的平行线与函数y₂=$\frac{c}{x}$的图象相交于点D，试问△PAD的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据点的坐标满足函数解析式，可得C点坐标，根据待定系数法求函数解析式，可得答案；
（2）根据函数图象由直线在双曲线上方得到所对应的x的范围；
（3）根据三角形的面积公式，可得关于n的二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．

解答 解：（1）将点B（-1，5）代入y₂=$\frac{c}{x}$，得：c=-5，
则y₂=-$\frac{5}{x}$；
当x=$\frac{5}{2}$时，y=-$\frac{5}{\frac{5}{2}}$=-2，即点C（$\frac{5}{2}$，-2），
将点B（-1，5）、C（$\frac{5}{2}$，-2）代入y₁=kx+b，得：
$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=5}\\{\frac{5}{2}k+b=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=3}\end{array}\right.$；

（2）由函数图象知，当x＜-1或0＜x＜$\frac{5}{2}$时，y₁＞y₂，
故答案为：x＜-1或0＜x＜$\frac{5}{2}$；

（3）存在，
由（2）知，y₁=-2x+3，
令y₁=0，即-2x+3=0，解得x=$\frac{3}{2}$，
∴A（$\frac{3}{2}$，0），
由题意，点P（m，n）是一次函数y₁=-2x+3的图象上的动点，且-1＜m＜$\frac{3}{2}$，
∴点P在线段AB上运动（不含A、B）
设P（$\frac{3-n}{2}$，n）   
∴DP∥x轴，且点D在y₂=-$\frac{5}{x}$的图象上，
∴y_D=y_P=n，x_D=-$\frac{5}{n}$，即D（-$\frac{5}{n}$，n）．    
∴△PAD的面积为S=$\frac{1}{2}$PD•OP=$\frac{1}{2}$•（$\frac{3-n}{2}$+$\frac{5}{n}$）•n=-$\frac{1}{4}$（n-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{49}{16}$．    
∴S关于n的二次函数的图象开口向下，有最大值，
又∵n=-2m+3，-1＜m＜$\frac{3}{2}$，得0＜n＜5，而0＜n=$\frac{3}{2}$＜5，
∴当n=$\frac{3}{2}$时，即P（$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{2}$）时，△PAD的面积S最大，为$\frac{49}{16}$．

点评 本题主要考查反比例函数的综合问题，关键是根据反比例函数图象上点的横纵坐标积相等求C点坐标，由“两点法”求直线解析式，根据平行于x轴的直线上点的坐标特点，表示三角形的面积，根据二次函数的性质求最大值．