Question

【题目】已知，如图1：中，、的平分线相交于点，过点作交、于、

(1)直接写出图1中所有的等腰三角形．指出与、间有怎样的数量关系？

(2)在(1)的条件下，若，，求的周长；

(3)如图2，若中，的平分线与三角形外角的平分线交于点，过点作交于，交于，请问(1)中与、间的关系还是否存在，若存在，说明理由：若不存在，写出三者新的数量关系，并说明理由；

(4)如图3，、的外角平分线的延长线相交于点，请直接写出，、，之间的数量关系．不需证明．

Answer 1

【答案】（1）等腰△OBE和等腰△OCF；EF=BE+CF；（2）25；（3）见解析； （4）EF=BE+CF+MN．

【解析】

（1）利用角平分线和平行线的即可得出结论；
（2）利用（1）的结论即可得出结论；
（3）同（1）的方法即可得出结论；
（4）利用角平分线和平行线的即可得出结论；

解：（1）∵BO是∠ABC的平分线，
∴∠EBO=∠CBO，
∵EF∥BC，
∴∠CBO=∠BOE，
∴∠EBO=∠EOB，
∴BE=OE，
∴△BEO是等腰三角形，
同理：△CFO是等腰三角形，
EF=OE+OF=BE+CF；
（2）由（1）知，OE=BE，OF=CF，
∴AEF的周长为AE+EF+AF=AE+OE+OF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC=25；
（3）（1）中结论不成立，新结论为：EF=BE-CF，理由：
∵BO是∠ABC的平分线，
∴∠ABO=∠CBO，
∵EF∥BC，
∴∠CBO=∠EOB，
∴∠ABO=EOB，
∴OE=BE，
同理：CF=OF，
∴EF=OE-OF=BE-CF，
（4）∵BO是∠CBE的平分线，
∴∠EBO=∠CBO，
∵EF∥BC，
∴∠EMB=∠CBO，
∴∠EBM=∠EMB，
∴BE=EM，
同理：FN=CF，
∴EF=EM+MN+FN=BE+MN+CF．