Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t=2时，AP=

 

，点Q到AC的距离是

 

；
（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）
（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值；若不能，请说明理由；
（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值．

Answer 1

分析：（1）先求PC，再求AP，然后求AQ，再由三角形相似求Q到AC的距离；
（2）作QF⊥AC于点F，先求BC，再用t表示QF，然后得出S的函数解析式；
（3）当DE∥QB时，得四边形QBED是直角梯形，由△APQ∽△ABC，由线段的对应比例关系求得t，由PQ∥BC，四边形QBED是直角梯形，△AQP∽△ABC，由线段的对应比例关系求t；
（4）①第一种情况点P由C向A运动，DE经过点C、连接QC，作QG⊥BC于点G，由PC²=QC²解得t；
②第二种情况，点P由A向C运动，DE经过点C，由图列出相互关系，求解t．

解答：解：（1）做QF⊥AC，
∵AC=3，点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，
∴当t=2时，AP=3-2=1；
∵QF⊥AC，BC⊥AC，
∴QF∥BC，
∴△ACB∽△AFQ，
∴

AQ

AB

=

QF

BC

，
∴

2

5

=

QF

4

，
解得：QF=

8

5

；
故答案为：1，

8

5

；

（2）作QF⊥AC于点F，
如图1，AQ=CP=t，
∴AP=3-t．
由△AQF∽△ABC，BC=

52-32

=4，
得

QF

4

=

t

5

．
∴QF=

4

5

t．
∴S=

1

2

（3-t）•

4

5

t，
即S=-

2

5

t2+

6

5

t；

（3）能．
①当由△APQ∽△ABC，DE∥QB时，如图2．
∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形，
此时∠AQP=90°．
由△APQ∽△ABC，得

AQ

AC

=

AP

AB

，
即

t

3

=

3-t

5

．解得t=

9

8

；
②如图3，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．
此时∠APQ=90°．
由△AQP∽△ABC，得

AQ

AB

=

AP

AC

，
即

t

5

=

3-t

3

．
解得t=

15

8

，
综上：在点E从B向C运动的过程中，当t=

15

8

或

9

8

时，四边形QBED能成为直角梯形；

（4）t=

5

2

或t=

45

14

．
注：①点P由C向A运动，DE经过点C．
连接QC，作QG⊥BC于点G，如图4．
∵sinB=

AC

AB

=

3

5

=

QG

BQ

，
∴QG=

3

5

（5-t），
同理BG=

4

5

（5-t），
∴CG=4-

4

5

（5-t），
∴PC=t，QC²=QG²+CG²=[

3

5

（5-t）]²+[4-

4

5

（5-t）]²．
∵CD是PQ的中垂线，
∴PC=QC
则PC²=QC²，
得t²=[

3

5

（5-t）]²+[4-

4

5

（5-t）]²，
解得t=

5

2

；
②点P由A向C运动，DE经过点C，如图5．
PC=6-t，可知由PC²=QC²可知，
QC²=QG²+CG²=（6-t）²=[

3

5

（5-t）]²+[4-

4

5

（5-t）]²，
即t=

45

14

．

点评：本题考查了相似三角形的判定定理，线段比的有关知识，利用二次函数的相关知识以及实际应用相结合，同时考生要注意巧妙利用辅助线的帮助解答，难度较大．