[问题提出]如图1.四边形ABCD中.AD=CD.∠ABC=120°.∠ADC=60°.AB=2.BC=1.求四边形ABCD的面积．[尝试解决]旋转是一种重要的图形变换.当图形中有一组邻边相等时.往往可以通过旋转解决问题．(1)如图2.连接 BD.由于AD=CD.所以可将△DCB绕点D顺时针方向旋转60°.得到△DAB′.则△BDB′的形状是等边三角形．的基础上.求四边� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

12．【问题提出】如图1，四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=120°，∠ADC=60°，AB=2，BC=1，求四边形ABCD的面积．

【尝试解决】
旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．
（1）如图2，连接 BD，由于AD=CD，所以可将△DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB′，则△BDB′的形状是等边三角形．
（2）在（1）的基础上，求四边形ABCD的面积．
[类比应用]如图3，四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=75°，∠ADC=60°，AB=2，BC=$\sqrt{2}$，求四边形ABCD的面积．

分析（1）易证△DEB≌△DAB′，则BD=DB′，∠BDB′=60°，所以△BDB′是等边三角形；
（2）知等边三角形的边长为3，求出S△BDB′即可；
【类比应用】类比（1），连接 BD，由于AD=CD，所以可将△BCD绕点D逆时针方向旋转60°，得到△DAB′，连接BB′，延长BA，作B′E⊥BE；易证△AFB′是等腰直角三角形，△AEB是等腰直角三角形，利用勾股定理计算AE=B′E=1，BB′=$\sqrt{10}$，求△ABB′和△BDB′的面积和即可．

解答解：（1）如图2，连接 BD，由于AD=CD，所以可将△DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB′，
∵BD=B′D，∠BDB′=60°
∴△BDB′是等边三角形；
（2）由（1）知，△BCD≌△B′AD，
∴四边形ABCD的面积=等边三角形BDB′的面积，
∵BC=AB′=1
∴BB′=AB+AB′=2+1=3，
∴S_{四边形ABCD}=S_△BDB′=$\frac{1}{2}×3×\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$；
【类比应用】如图3，连接 BD，由于AD=CD，所以可将△BCD绕点D逆时针方向旋转60°，得到△DAB′，
连接BB′，延长BA，作B′E⊥BE；
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠CDB=∠ADB′}\\{BD=B′D}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△B′AD
∴S_{四边形ABCD}=S_{四边形BDB′A}，
∵∠ABC=75°，∠ADC=60°，
∴∠BAB′=135°
∴∠B′AE=45°，
∵B′A=BC=$\sqrt{2}$，
∴B′E=AE=1，
∴BE=AB+AE=2+1=3，
∴BB′=$\sqrt{10}$，
∴S_△ABB′=$\frac{1}{2}$•AB•B′E=$\frac{1}{2}$×2×1=1，
S△BDB′=$\frac{1}{2}×\sqrt{10}×\frac{\sqrt{30}}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴S_{四边形ABCD}=S_{四边形BDB′A}=S△BDB′-S_△ABB′=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$-1．

点评本题考查了图形的旋转变换，三角形全等，勾股定理，等积代换思想，类比思想等．构造直角三角形，求出三角形的高是解决问题的关键．

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