Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，OF⊥AC于点F，

(1)请探索OF和BC的关系并说明理由；

(2)若∠D＝30°，BC＝1时，求圆中阴影部分的面积．(结果保留π)

Answer 1

【答案】(1)OF∥BC，OF＝BC，理由见解析；(2)．

【解析】

（1）先根据垂径定理得出AF=CF，再根据AO=BO得出OF是△ABC的中位线，由三角形的中位线定理即可得出结论；
（2）连接OC，由（1）知，再根据直角三角形的性质得出AB及AC的长，根据扇形的面积公式求出扇形AOC的度数，根据阴影面积=扇形AOC的面积-△AOC的面积，即可得出结论．

(1)OF∥BC，OF＝BC．

理由：由垂径定理得AF＝CF．

∵AO＝BO，

∴OF是△ABC的中位线．

∴OF∥BC，OF＝BC．

(2)连接OC．由(1)知OF＝．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°．

∵∠D＝30°，

∴∠A＝30°．

∴AB＝2BC＝2．

∴AC＝．

∴S△AOC＝×AC×OF＝．

∵∠AOC＝120°，OA＝1，

∴S扇形AOC＝．

∴S阴影＝S扇形AOC﹣S△AOC＝．