Question

5．如图，AC∥BD，AF、BC相交于E，EF∥BD，求证：$\frac{1}{AC}$=$\frac{1}{BD}$-$\frac{1}{EF}$．

Answer 1

分析 先证明△BEF∽△BCA得到$\frac{EF}{AC}$=$\frac{BF}{AB}$，再证明△AEF∽△ADB得到$\frac{EF}{BD}$=$\frac{AF}{AB}$，然后把两式相加后利用等式的性质可得到结论．

解答 证明：∵AC∥EF，
∴△BEF∽△BCA，
∴$\frac{EF}{AC}$=$\frac{BF}{AB}$①，
∵EF∥BD，
∴△AEF∽△ADB，
∴$\frac{EF}{BD}$=$\frac{AF}{AB}$②，
①+②得$\frac{EF}{AC}$+$\frac{EF}{BD}$=$\frac{BF}{AB}$+$\frac{AF}{AB}$=$\frac{AB}{AB}$=1，
∴$\frac{1}{AC}$+$\frac{1}{BD}$=$\frac{1}{EF}$，
∴$\frac{1}{AC}$=$\frac{1}{BD}$-$\frac{1}{EF}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时主要得到对应边成比例或对应角相等．