Question

计算：
（1）（x-1）（x+1）=x²-1，
（x-1）（x²+x+1）=x³-1，
（x-1）（x³+x²+x+1）=______，
…
猜想：（x-1）（xⁿ+x^n-1+…+x²+x+1）=______．
（2）根据以上结果，试写出下列各式的结果．（x-1）（x⁴⁹+x⁴⁸+…+x²+x+1）=______．
（3）由以上情形，你能求出下面的式子的结果吗？（x²⁰-1）÷（x-1）=______．若能求，直接写出结果；若不能求，请说明理由．

Answer 1

解：根据分析，可得
（1）（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1；（x-1）（xⁿ+x^n-1+…+x²+x+1）=xⁿ⁺¹-1；

（2）（x-1）（x⁴⁹+x⁴⁸+…+x²+x+1）=x⁵⁰-1；

（3）（x²⁰-1）÷（x-1）=（x¹⁹+x¹⁸+…+x²+x+1）（x-1）÷（x-1）=x¹⁹+x¹⁸+…+x²+x+1．
分析：根据题中所给的式子可以发现右侧都是x的n次方减1的形式，且右侧的次数比左侧最高次数大1．
点评：本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．根据题中所给的材料获取所需的信息和解题方法是需要掌握的基本技能．