Question

17．已知抛物线y=x²-（k+2）x+$\frac{5k+2}{4}$和直线y=（k+1）x+（k+1）²．
（1）求证：无论k取何实数值，抛物线总与x轴有两个不同的交点；
（2）抛物线于x轴交于点A、B，直线y=（k+1）x+（k+1）²与x轴交于点C，设A、B、C三点的横坐标分别是x₁、x₂、x₃，当x₁•x₂-x₃=0时，求k的值．
（3）抛物线于x轴交于点A、B，直线y=（k+1）x+（k+1）²与x轴交于点C，设A、B、C三点的横坐标分别是x₁、x₂、x₃，求x₁•x₂•x₃的最大值；
（4）如果抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边，直线与x轴的交点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交y轴于点D、E，直线AD交直线CE于点G（如图），且CA•GE=CG•AB，求抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （2）利用一元二次方程的根的判别式确定出抛物线与x轴的交点坐标；
（2）利用根与系数的关系确定出x₁•x₂，进而建立方程$\frac{5k+2}{4}$-（-k-1）=0，求解即可；
（3）同（2）的方法得出x₁•x₂•x₃的关系式，从而求出最大值；
（4）由CA•GE=CG•AB得出△CAG∽△CBE，进而判断出△OAD∽△OBE得出OA：OB=OD：OE，建立方程求解即可．

解答 解：（1）证明：∵△=（k+2）²-4×1×$\frac{5k+2}{4}$=k²-k+2=（k-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$，
∵（k-$\frac{1}{2}$）²≥0，
∴△＞0，
故无论k取何实数值，抛物线总与x轴有两个不同的交点；
（2）y=（k+1）x+（k+1）²=（k+1）（x+k+1）
∴x₃=-k-1，
∵抛物线y=x²-（k+2）x+$\frac{5k+2}{4}$与x轴交于点A，B，
∴x₁•x₂₌$\frac{5k+2}{4}$，
∵x₁•x₂-x₃=0
∴$\frac{5k+2}{4}$-（-k-1）=0，
∴k=$-\frac{2}{3}$
（3）∵抛物线于x轴交于点A、B，
直线与x轴交于点C，设A、B、C三点的横坐标分别是x₁、x₂、x₃，
∴x₁•x₂=$\frac{5k+2}{4}$，令0=（k+1）x+（k+1）²，
得：x=-（k+1），即x₃=-（k+1），
∴x₁•x₂•x₃=-（k+1）•$\frac{5k+2}{4}$=-$\frac{5}{4}$（k+$\frac{7}{10}$）²+$\frac{9}{80}$，
∴x₁•x₂•x₃的最大值为：$\frac{9}{80}$；
（4）∵CA•GE=CG•AB，
∴CA：CB=CG：CE，
∵∠ACG=∠BCE，
∴△CAG∽△CBE，
∴∠CAG=∠CBE，
∵∠AOD=∠BOE，
∴△OAD∽△OBE，
∴OA：OB=OD：OE，
∵抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边，
直线与x轴的交点C在原点的左边，
又抛物线、直线分别交y轴于点D、E，
∴OA•OB=$\frac{5k+2}{4}$，OD=$\frac{5k+2}{4}$，OE=（k+1）²，
∴OA•OB=OD，由OA：OB=OD：OE
∴OA：OB=（OA•OB）：OE，
∴OB²=OE，
∴OB=k+1，
∴点B（k+1，0），
将点B代入抛物线y=x²-（k+2）x+$\frac{5k+2}{4}$得：
（k+1）²-（k+2）（k+1）-$\frac{5k+2}{4}$=0，
解得：k=2，
∴抛物线的解析式为：y=x²-4x+3．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查来了一元二次方程的根的判别式，二次函数和一元二次方程的关系，相似三角形的性质和判定，解本题的关键是利用韦达定理解决问题．