Question

在△ABC中，AC＞BC，D为AB的中点，E为线段AC上的一点．
（1）如图1，若AE=AC，∠C=90°，BC=2，AC=4，求DE的长；
（2）如图2，若AE=BC且F为EC中点，求证：∠AFD=∠C；
（3）若2∠AED-∠C=180°，试探究AE、BC、AC的数量关系，并证明．

Answer 1

（1）证明：过点D作DG⊥AC交AC于G，（如图1）
∵D为AB的中点，
∴E为AC的中点，
∴DG为△ACB的中位线，
∴DG=BC=1，
∵AE=AC，AC=4，
∴AE=1，
在Rt△DGE中，DE==；

（2）证明：连结BE，取BE中点M，再连结MF、MD．（如图2）
∵F为EC中点，D为AB中点，
∴MF∥BC且MF=BC，MD∥AB且MD=AB，
∴MF=MD，
∴∠MED=∠MDE，
又∵MD∥AB，
∴∠AFD=∠MDE，
∵∠MED=∠MDE，
∴∠AFD=∠AFM，
∵MF∥AC，
∴∠AFM=∠ACB，
∴∠AFD=∠ACB，
即：∠AFD=∠C；

（3）答：AC=2AE+BC，（如图3）
证明：在EC上截取EM=AE，连接BM，作CH⊥BM，
∵2∠AED-∠C=180°，
∴∠AED=90°+∠MCH，
∴，
∴∠C=2∠MCH，易证△CHM≌△CHB，
∴BC=MC，
∴AC=2AE+BC．
分析：（1）过点D作DG⊥AC交AC于G，因为D为AB的中点，所以E为AC的中点，则DG为△ACB的中位线，在△DGE中利用勾股定理即可求出DE的长；
（2）连结BE，取BE中点M，再连结MF、MD．因为F为EC中点，D为AB中点，所以 MF∥BC且MF=BC/2，MD∥AB且MD=AB，所以 MF=MD，所以∠MED=∠MDE，又因为MD∥AB，所以∠AFD=∠MDE，因为∠MED=∠MDE，所以∠AFD=∠AFM，因为MF∥AC，所以∠AFM=∠ACB，所以∠AFD=∠ACB，即：∠AFD=∠C；
（3）AC=2AE+BC，在EC上截取EM=AE，连接BM，作CH⊥BM，易证∠AED=90°+∠MCH，由已知可得，得∠C=2∠MCH，证△CHM≌△CHB，得BC=MC，结论可得．
点评：本题考查了直角三角形的性质、勾股定理的运用、全等三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理和外角和定理，解题的关键是截取线段相等，各种全等三角形，题目的难度不小．