Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+n与抛物线y=ax²+bx-3交于A（-2，0）、B（4，3）两点，点P是直线AB下方的抛物线上的一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．
（1）求直线与抛物线的解析式．
（2）设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；
②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为9：10？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）将A（-2，0），B（4，3）代入直线y=kx+n中，得：，
解得：，
∴直线解析式为y=x+1；
将A（-2，0），B（4，3）代入抛物线解析式y=ax²+bx-3得：，
解得：，
∴抛物线解析式为y=x²-x-3；

（2）①∵PC∥y轴，
∴∠ACP=∠AEO，
对于直线y=x+1，令y=0，得到x=-2，即AO=2，令x=0，得到y=1，即OE=1，
根据勾股定理得到AE=，
∴sin∠ACP=sin∠AEO==，
将x=m代入直线解析式得：y=m+1；代入抛物线解析式得：y=m²-m-3，
∴CP=（m+1）-（m²-m-3）=-m²+m+4，
∴DP=CP•sin∠ACP=（-m²+m+4）×=-（m-1）²+，
∵-＜0，
∴当m=1时，DP的最大值为；
②存在，
过D作DF⊥CP，过B作BG⊥PQ，交PC延长线与点Q，
∵sin∠ACP=，
∴cos∠ACP=，
在Rt△PDF中，DF=DP•sin∠DPC=DP•cos∠ACP=×（-m²+m+4）×=-（m²+2m-8），
又∵BG=4-m，
∴====，
当==时，解得：m=；
当==时，解得：m=．
分析：（1）将A与B坐标代入y=kx+n中求出k与n的值，确定出直线解析式；将A与B坐标代入抛物线解析式求出a与b的值，即可确定出抛物线解析式；
（2）①设直线AB与x轴交于点E，由CP与y轴平行，得到∠ACP=∠AEO，求出AE与OA的长，得出sin∠AEO的值，即为sin∠ACP的值，由P的横坐标为m，分别代入直线与抛物线解析式得到两个纵坐标之差为PC的长，由PD=PCsin∠ACP表示出PD，利用二次函数的性质求出PD的最大值即可；
②存在，过D作DF⊥CP，过B作BG⊥PQ，交PC延长线与点Q，表示出DF与BG，进而表示出三角形DCP面积与三角形BCP面积，根据面积之比为9：10列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值即可．
点评：此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，二次函数的图象与性质，锐角三角函数定义，同角三角函数间的基本关系，以及三角形的面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题第一问的关键．