Question

【题目】在△ABC中，D是BC的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．

（1）求证：△ABC～△FCD；

（2）若△DEF的面积为2，求△FCD的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）6

【解析】

（1）由线段垂直平分线的性质可得BE＝EC，进而可得∠ABC＝∠FCD，由等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠FDC，问题即得解决；

（2）由相似三角形的性质可得AC＝2DF，S△ABC＝4S△FCD，进而可得AF＝DF，S△DEC＝S△AEC，再利用S△ABC与S△FCD的关系得出关于S△FCD的方程，即可求解．

解：（1）∵D是BC的中点，DE⊥BC，

∴BE＝EC，BD＝CD＝BC，

∴∠ABC＝∠FCD，

∵AD＝AC，

∴∠ACB＝∠FDC，

∴△ABC∽△FCD；

（2）∵△ABC∽△FCD，

∴，∴，

∴AC＝2DF，S△ABC＝4S△FCD，

∴AD＝2DF， ∴AF＝DF，

∴S△DEF＝S△AEF＝2，S△DFC＝S△AFC，

∴S△DEC＝S△AEC，

∵BD＝DC，

∴S△BDE＝S△CDE＝S△DFC+2，

∵S△ABC＝4S△FCD，

∴3（S△DFC+2）＝4S△FCD，

∴S△FCD＝6.