Question

16．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（8，4），将该长方形沿OB翻折，点A的对应点为点D，OD与BC交于点E．
（1）证明：EO=EB；
（2）求点E的坐标；
（3）点P是直线OB上的任意一点，且△OPC是等腰三角形，求满足条件的点P的坐标；
（4）点M是OB上任意一点，点N是OA上任意一点，是否存在点M、N，使得AM+MN最小？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由折叠得到∠DOB=∠AOB，再由BC∥OA得到∠OBC=∠AOB，即∠OBC=∠DOB，即可；
（2）由（1）得到EO=EB设OE=x则DE=8-x，再用勾股定理建立方程16+（8-x）²=x²，求出x即可；
（3）设出点P坐标，分三种情况讨论计算即可；
（4）根据题意判断出过点D作OA的垂线交OB于M，OA于N，求出DM即可．

解答 解：（1）∵将该长方形沿OB翻折，点A的对应点为点D，OD与BC交于点E．
∴∠DOB=∠AOB，
∵BC∥OA，
∴∠OBC=∠AOB，
∴∠OBC=∠DOB，
∴EO=EB，
（2）由（1）有，EO=EB，
∵长方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（8，4），
设OE=x，则DE=8-x，
在Rt△BDE中，BD=4，根据勾股定理得，DB²+DE²=BE²，
∴16+（8-x）²=x²，
∴x=5，
∴BE=5，
∴CE=3，
∴E（3，4），
（3）点B的坐标为（8，4），
∴直线OB解析式为y=$\frac{1}{2}$x，
∵点P是直线OB上的任意一点，
∴设P（a，$\frac{1}{2}$a），
∵O（0，0），C（0，4），
∴OC=4，PO²=a²+（$\frac{1}{2}$a）²=$\frac{5}{4}$a²，PC²=a²+（4-$\frac{1}{2}$a）²，
∵△OPC是等腰三角形
①当PO=PC时，∴PO²=PC²，
∴$\frac{5}{4}$a²=a²+（4-$\frac{1}{2}$a）²，
∴a=4，
∴P（4，2），
②当PO=OC时，∴PO²=OC²，
∴$\frac{5}{4}$a²=16，
∴a=±$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∴P（$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，$\frac{4\sqrt{5}}{5}$）或P（-$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$），
③当PC=OC时，∴PC²=OC²，
∴a²+（4-$\frac{1}{2}$a）²=16，
∴a=0（舍）或a=$\frac{16}{5}$，
∴P（$\frac{16}{5}$，$\frac{8}{5}$）；
∴满足条件的点P的坐标为（4，2）或（$\frac{16}{5}$，$\frac{8}{5}$）或（$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，$\frac{4\sqrt{5}}{5}$）或（-$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$），
（4）如图，

过点D作OA的垂线交OB于M，交OA于N，此时的M，N是AM+MN的最小值的位置，求出DN就是AM+MN的最小值，
由（2）有，DE=3，BE=5，BD=4，
∴根据面积有DE×BD=BE×DG，
∴DG=$\frac{DE×BD}{BE}$=$\frac{12}{5}$，
由题意有，GN=OC=4，
∴DN=DG+GN=$\frac{12}{5}$+4=$\frac{32}{5}$．
即：AM+MN的最小值为$\frac{32}{5}$．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，极值的确定，解本题的关键求出点E的坐标．