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2.定义:如果二次函数y=a1x2+b1x+c1(a1≠0,a1,b1,c1是常数)与y=a2x2+b2x+c2(a2≠0,a2,b2,c2是常数)满足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,则称这两个函数互为“旋转函数”.求y=-x2+3x-2函数的“旋转函数”.
小明是这样思考的:由y=-x2+3x+2函数可知,a1=-1,b1=3,c1=2根据a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,求出a2,b2,c2就能确定这个函数的“旋转函数”.请参考小明的方法解决下面的问题:
(1)写出函数y=-x2+3x+2的“旋转函数”;
(2)若函数y=-x2+$\frac{4}{3}$mx-2与y=x2-2nx+n互为“旋转函数”,求(m+n)2015的值;
(3)已知函数y=-$\frac{1}{2}$(x+1)(x-4)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1,试证明经过点A1、B1、C1的二次函数与函数y=-$\frac{1}{2}$(x+1)(x-4)互为“旋转函数”.

分析 (1)根据二次函数y=a1x2+b1x+c1(a1≠0,a1,b1,c1是常数)与y=a2x2+b2x+c2(a2≠0,a2,b2,c2是常数)满足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,则称这两个函数互为“旋转函数”,可得答案;
(2)根据二次函数y=a1x2+b1x+c1(a1≠0,a1,b1,c1是常数)与y=a2x2+b2x+c2(a2≠0,a2,b2,c2是常数)满足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,则称这两个函数互为“旋转函数”,可得关于m,n的方程,根据负数奇数次幂是负数,可得答案;
(3)根据自变量与函数值的对应关系,可得A,B,C的坐标,根据关于原点对称的点的坐标,可得A1、B1、C1,根据待定系数法,可得函数解析式,根据旋转函数的定义,可得答案.

解答 (1)由y=-x2+3x+2函数可知a1=-1,b1=3,c1=2
∵a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,
∴a2=1,b2=3,c2=-2
∴函数y=-x2+3x+2的“旋转函数”是y=x2+3x-2
(2)函数y=-x2+$\frac{4}{3}$mx-2与y=x2-2nx+n互为“旋转函数”
∴$\frac{4}{3}$m=-2n,-2+n=0,
m=-3,n=2
∴(m+n)2015=(-3+2)2015=-1;
(3)数y=-$\frac{1}{2}$(x+1)(x-4)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,
∴A(-1,0),B(4,0)C(0,2),
∴A1(1,0),B1(-4,0),C1(0,-2)
得过点A1,B1,C1的二次函数是y=$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x-2;
∵y=-$\frac{1}{2}$(x+1)(x-4)=-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x+2,
∴a1+a2=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=0,b1=b2,c1+c2=2+(-2)=0,
∴经过点A1,B1,C1的二次函数与函数y=-$\frac{1}{2}$(x+1)(x-4)互为“旋转函数”.

点评 本题考察了二次函数综合题,利用旋转函数的定义是解(1)的关键;利用自变量与函数的关系得出A,B,C的坐标,有利用关于点对称的点的坐标得出A1、B1、C1是解(3)的关键,又利用了旋转函数的定义.

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