Question

如图，等腰△ABC，AB=BC=4，AC=6，点E、D分别是AB与AC边上的两个动点，满足∠EDB=∠A．

（1）在图①中，说明：△ADE∽△CBD；
（2）在图②中，若AE=2.25，说明：AC与过点B、E、D三点的圆相切；
（3）在图③中，设AE=m，m在何范围内，AC边上存在两个点D，满足∠EDB=∠A？

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）先证出∠A=∠C，再利用三角形的外角证出∠ADE=∠CBD，从而证出△ADE∽△CBD；
（2）根据

AD

BC

=

AE

DC

，得出

AD

4

=

2.25

6-AD

，求出AD=DC，得出BD⊥AC，证出BD为圆的直径，再根据切线的判定即可证出结论；
（3）设AD=x，得出

x

4

=

m

6-x

，再整理得出x²-6x+4m=0，最后根据AC边上存在两个点D时，6²-16m＞0，再计算即可．

解答：解：（1）∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∵∠EDB=∠A，
∴∠EDB=∠C，
∵∠ADB=∠ADE+∠EDB，∠ADB=∠CBD+∠C，
∴∠ADE=∠CBD，
∴△ADE∽△CBD；

（2）∵△ADE∽△CBD，
∴

AD

BC

=

AE

DC

，
∵DC=6-AD，
∴

AD

4

=

2.25

6-AD

，
∴AD=3，
∴DC=3，
∵AB=BC，
∴BD⊥AC
∴∠AED=∠CDB=90°，
∴BD为圆的直径，
∴AC与过点B、E、D三点圆相切；

（3）∵△ADE∽△CBD，
∴

AD

BC

=

AE

DC

，
设AD=x，则

x

4

=

m

6-x

，
∴6x-x²=4m，
∴x²-6x+4m=0，
∵AC边上存在两个点D，
∴6²-16m＞0，
∴m＜

9

4

，
∴0＜m＜

9

4

时，AC边上存在两个点D，满足∠EDB=∠A．

点评：此题考查了相似形的综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、圆的有关性质、切线的判定、根的判别式，关键是证出两三角形相似．