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    小明在课间用橡皮筋将两支规格相同的铅笔垂直放置在桌面上（如图）．小明发现：当铅笔左右平行移动时，橡皮筋的交点到桌面的距离保持不变．于是该班数学兴趣小组进行了如下探究：

    （1）如图①，若四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD交点为P，过点P作PQ⊥BC于点Q，连结DQ交AC于点P1，过点P1作P1Q1⊥BC于点Q1，已知AB=CD=a，则PQ=
     
    ，P1Q1=
     
    ．（用含a的代数式表示）
    （2）如图②，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AC、BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q．已知AB=a，CD=b，请用含a、b的代数式表示线段PQ的长，写出你的解题过程．
    （3）如图③，在直角坐标系xOy中，梯形ABCD的腰BC在x轴正半轴上（点B与原点O重合），AB∥CD，∠ABC=60°，AC、BD交于点P，过点P作PQ∥CD交BC于点Q，连结AQ交BD于点P1，过点P1作P1Q1∥CD交BC于点Q1．连结AQ1交BD于点P2，过点P2作P2Q2∥CD交BC于点Q2，…，已知AB=a，CD=b，则点P1的纵坐标为
     
    点Pn的纵坐标为
     
    （直接用含a、b、n的代数式表示）
    考点：相似形综合题
    专题：压轴题
    分析：（1）根据矩形的对角线互相平分且相等可得BP=PD，再根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行可得PQ∥CD，然后根据平行线分线段成比例定理列式求解即可得到PQ，同理求出P1Q1∥CD，然后求出
    QP1
    P1D
    的值，再求出
    QP1
    QD
    的值，然后根据平行线分线段成比例定理可得
    P1Q1
    CD
    =
    QP1
    QD
    ，再代入数据进行计算即可求出P1Q1；
    （2）先根据AB∥CD求出
    BP
    PD
    ，然后求出
    BP
    BD
    ，再根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行可得PQ∥CD，然后根据平行线分线段成比例定理可得
    PQ
    CD
    =
    BP
    BD
    ，代入数据进行计算即可得解；
    （3）根据（2）的结论依次表示出PQ、P1Q1、P2Q2…PnQn，再根据两直线平行，同位角相等求出∠PQC=∠P1Q1C=∠P2Q2C=…∠PnQnC=∠ABC=60°，然后利用60°角的正弦值列式计算即可得解．
    解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
    ∴BP=PD，
    ∵PQ⊥BC，
    ∴PQ∥CD，
    ∴
    PQ
    CD
    =
    BP
    BD
    =
    1
    2
    ，
    ∴PQ=
    1
    2
    CD=
    1
    2
    a，
    ∵P1Q1⊥BC，
    ∴P1Q1∥CD，
    ∴
    QP1
    P1D
    =
    PQ
    CD
    =
    1
    2
    ，
    ∴
    QP1
    QD
    =
    1
    1+2
    =
    1
    3
    ，
    又∵
    P1Q1
    CD
    =
    QP1
    QD
    ，
    ∴P1Q1=
    1
    3
    a；

    （2）∵AB∥CD，
    ∴
    BP
    PD
    =
    AB
    CD
    =
    a
    b
    ，
    ∴
    BP
    BD
    =
    a
    a+b
    ，
    ∵AB∥CD，∠ABC=90°，PQ⊥BC，
    ∴PQ∥CD，
    ∴
    PQ
    CD
    =
    BP
    BD
    =
    a
    a+b
    ，
    ∴PQ=
    a
    a+b
    •CD=
    ab
    a+b
    ；

    （3）根据（2）的结论，PQ=
    ab
    a+b
    ，
    P1Q1=
    a•
    ab
    a+b
    a+
    ab
    a+b
    =
    ab
    a+2b
    ，
    P2Q2=
    a•
    ab
    a+2b
    a+
    ab
    a+2b
    =
    ab
    a+3b
    ，
    P3Q3=
    a•
    ab
    a+3b
    a+
    ab
    a+3b
    =
    ab
    a+4b
    ，
    …，
    依此类推，PnQn=
    ab
    a+(n+1)b
    ，
    ∵AB∥CD，PQ∥CD，P1Q1∥CD，P2Q2∥CD，…，
    ∴AB∥PQ∥P1Q1∥P2Q2∥…∥PnQn∥CD，
    ∴∠PQC=∠P1Q1C=∠P2Q2C=…∠PnQnC=∠ABC=60°，
    ∴点P1的纵坐标为：P1Q1•sin60°=
    ab
    a+2b
    ×
    		3
    2
    =
    		3
    ab
    2a+4b
    ，
    点Pn的纵坐标为为PnQn•sin60°=
    ab
    a+(n+1)b
    ×
    		3
    2
    =
    		3
    ab
    2a+2(n+1)b
    ．
    故答案为：（1）
    1
    2
    a，
    1
    3
    a；（2）
    ab
    a+b
    ；（3）
    		3
    ab
    2a+4b
    ，
    		3
    ab
    2a+2(n+1)b
    ．
    点评：本题考查了相似形综合题，主要利用了矩形的对角线互相平分且相等的性质，平行线分线段成比例定理，锐角三角函数，难度较大，规律性较强，求出PQ并发现利用好规律，表示出相应的线段是解题的关键．
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    x-y=3
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    与
    3x+2y=-1
    5x+by=1
    有相同的解，那么代数式a-7b的值是
     
    ．

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    化简：
    1
    2
    x+2(x-
    1
    3
    x2)+(-
    3
    2
    x+
    1
    3
    y2)    ．

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    °．

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    1.5  1.6  1.4  1.7  1.1  1.6  1.8  1.3
    1.4  1.2  1.5  1.6  1.6  1.4  1.7  1.4
    1.6  1.5  1.4  1.5  1.5  1.7  1.6  1.4
    1.9  1.7  1.5  1.5  1.5  1.6
    若要根据这些体重设计频数分布表，要求分为5段，则应将体重按
     
    的距离分段，起点数可取为
     
    ，每段的范围分别为
     
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    下面是一组同学的跳远成绩（单位：cm）
    455  425  438  402  398  435  395  438
    382  390  460  388  412  420  430  442
    454  428  396  435  438  428  415  441
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    ∴△AOD≌△COB．
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    （2）若点P的坐标为（-1，k），k＜0，点Q是y轴上的一个动点，当QB+QP的最小值为5时，求此抛物线的解析式和点Q的坐标．

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