Question

3．在边长为5的正方形ABCD中，点E，F分别是BC，DC边上的两个动点（不与点B，C，D重合），且AE⊥EF．
（1）如图1，当BE=2时，求FC的长；
（2）延长EF交正方形ABCD外角平分线CP于点P．
①依题意将图2补全；
②小京通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有AE=PE．小京把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的三种想法：
想法1：在AB上截取AG=EC，连接EG，要证AE=PE，需证△AGE≌△ECP．
想法2：作点A关于BC的对称点H，连接BH，CH，EH．要证AE=PE，需证△EHP为等腰三角形．
想法3：将线段BE绕点B顺时针旋转90°，得到线段BM，连接CM，EM，要证AE=PE，需证四边形MCPE为平行四边形．
请你参考上面的想法，帮助小京证明AE=PE．（一种方法即可）

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质求出EC，证明△ABE∽△ECF，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
（2）①根据题意画图；
②在AB上截取AG=EC，连接EG，证明△AGE≌△ECP，根据全等三角形的性质证明．

解答 解：（1）∵正方形ABCD的边长为5，BE=2，
∴EC=3．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵AE⊥EF，
∴∠FEC+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF．
∴△AGE∽△ECF，
∴$\frac{AB}{BE}=\frac{CE}{FC}$，即$\frac{5}{2}=\frac{3}{FC}$，
∴FC=$\frac{6}{5}$；

（2）①依题意补全图形：
②证明：在AB上截取AG=EC，连接EG．
∵AB=BC，
∴GB=EB．
∵∠B=90°，
∴∠BGE=45°，
∴∠AGE=135°．
∵∠DCB=90°，CP是正方形ABCD外角平分线，
∴∠ECP=135°．
∴∠AGE=∠ECP．
在△AGE和△ECP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GAE=∠CEF}\\{AG=EC}\\{∠AGE=∠ECF}\end{array}\right.$，
∴△AGE≌△ECP．
∴AE=PE．

点评 本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．