Question

【题目】已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋m－1（m为常数）．

（1）求证：不论m为何值，该二次函数的图像与x轴总有两个公共点；

（2）将该二次函数的图像向下平移k（k＞0）个单位长度，使得平移后的图像经过点（0，－2），则k的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）k≥.

【解析】

（1）根据判别式的值得到△=（2m－1）2 ＋3＞0，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）把（0，－2）带入平移后的解析式，利用配方法得到k= (m+)+，即可得出结果.

（1）证：当y=0时 x2－2mx＋m2＋m－1＝0

∵b2－4ac＝（－2m）2－4（m2＋m－1）

＝8m2－4m2－4m＋4

＝4m2－4m＋4

＝（2m－1）2 ＋3＞0

∴方程x2－2mx＋m2＋m－1＝0有两个不相等的实数根

∴二次函数y＝x2－2mx＋m2＋m－1图像与x轴有两个公共点

（2）解：平移后的解析式为: y＝x2－2mx＋m2＋m－1-k,过(0,-2),

∴-2=0-0+m+m-1-k, ∴k= m+m+1=(m+)+,∴k≥.