Question

如图，△ABC中，AB=5，BC=11，cosB=

3

5

，点P是BC边上的一个动点，联结AP，取AP的中点M，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得到线段PN，联结AN，NC．
（1）当点N恰好落在BC边上时，求NC的长；
（2）若点N在△ABC内部（不含边界），设BP=x，CN=y，求y关于x的函数关系式，并求出函数的定义域；
（3）若△PNC是等腰三角形，求BP的长．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）根据三角函数和勾股定理可以求得答案．
（2）过A、N作BC的垂线，垂足分别为H、G，证得△APH∽△PGN，得到对应边的比例式，构造方程求解即可．
（3）分三种情况讨论：第一种情况：当PN=NC时，PG=CG，即：9-x=2，解得：x=7，；第二种情况：PN=PC时，PN=

1

2

AP=

1

2

(X-3)2+16

，PC=11-X，（x-3）²+16=4（11-x）²，整理得：3x²-82x+459=0，解得：x1=

41+4 19

3

(舍去)，x2=

41-4 19

3

；第三种情况：当NC=PC时：NC=

( x-3 2 )2+(9-x)2

=

5x2-78x+333

2

，PC=11-x，所以=

5x2-78x+333

2

=11-x，即：x²+10x-151=0，解方程得，x1=-5-4

11

(舍去)x2=-5+4

11

．

解答：解：（1）∵∠APN=90°，
∴AP⊥BN，
∴cosB=

BP

AB

=

3

5

，
∵AB=5，
∴BP=3，AP=

AB2-BP2

=4，
∵PN=MP=

1

2

AP，
∴PN=2，
∴NC=11-3-2=6；

（2）过A、N作BC的垂线，垂足分别为H、G，
∵AB=5，cosB=

3

5

，
∴BH=3，
∵BP=x，
∴HP=x-3，AH=4，
∴△APH∽△PGN，
∴

AP

PN

=

AH

PG

=

PH

NG

=2，
∴PG=2，NG=

x-3

2

，CG=11-x-2=9-x，
在Rt△NCG中，y=

( x-3 2 )2+(9-x)2

=

5x2-78x+333

2

，取值范围为：3＜x＜6．

（3）第一种情况：当PN=NC时，PG=CG，即：9-x=2，解得：x=7，；

第二种情况：PN=PC时，PN=

1

2

AP=

1

2

(x-3)2+16

，PC=11-x，
（x-3）²+16=4（11-x）²，
整理得：3x²-82x+459=0，
解得：x1=

41+4 19

3

(舍去)，x2=

41-4 19

3

第三种情况：
当NC=PC时：NC=

( x-3 2 )2+(9-x)2

=

5x2-78x+333

2

，PC=11-x，
所以=

5x2-78x+333

2

=11-x，
即：x²+10x-151=0，
解方程得，x1=-5-4

11

(舍去)x2=-5+4

11

．

综上所述：BP=7或

41-4 19

3

或--5+4

11

时，△PNC为等腰三角形．

点评：本题考查了线段长度的求法，以及在几何问题中用方程思想求线段长度的转化方法，同时注意分类讨论的思想的应用．