Question

1．如图1，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，点F为边CD上一点，AE⊥AF交CB延长线于E．
（1）求证：AE=AF；
（2）如图2，M、N分别为AE、BC的中点，连接MN、DE，交于点Q，试判断QN和QE数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，连接EF交BD于H，连DE，若AB=8$\sqrt{2}$，BH=3，则DE=$\sqrt{281+80\sqrt{2}}$．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出∠BAD=∠ABC=∠ABE=∠BCD=∠ADF=90°，AB=BC=AD=CD，再由已知条件证出∠BAE=∠DAF，由ASA证明△ABE≌△ADF，即可得出结论；
（2）连接OM、BM，OM交DE于F，连接NF，先证明OM是△ACE的中位线，得出OM∥BC，再证明四边形BNFM是平行四边形，得出FN=MB，由SAS证明△MEN≌△FNE，得出对应角相等∠MNE=∠FEN，即可得出结论；
（3）由正方形的性质求出BD，得出DH，$\frac{BM}{DF}=\frac{BH}{DH}=\frac{3}{13}$，设BM=3x，则DF=13x，得出$\frac{BM}{BE}=\frac{3}{13}$，作FG∥CE，交AB于G，则$\frac{GM}{FG}=\frac{BM}{BE}=\frac{3}{13}$，得出方程，解方程求出x，得出BE，再由勾股定理求出DE即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠ABC=∠ABE=∠BCD=∠ADF=90°，AB=BC=AD=CD，
∵AE⊥AF，
∴∠EAF=90°，
∴∠BAE=∠DAF，
在△ABE和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠ADF}\\{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE=AF；
（2）解：QN=QE；理由如下：
连接OM、BM，OM交DE于F，连接NF，如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OC，AD∥BC，AD=BC，
∵M是AE的中点，
∴OM是△ACE的中位线，
∴OM∥BC，
∴OM∥AD，
∴EF=DF，
∴MF是△ADE的中位线，
∴MF=$\frac{1}{2}$AD，
∴MF=$\frac{1}{2}$BC，
∵N是BC的中点，
∴BN=$\frac{1}{2}$BC，
∴MF=BN，
∴四边形BNFM是平行四边形，
∴FN=MB，
∵∠ABE=90°，
∴MB=$\frac{1}{2}$AE=ME，
∴FN=ME，
即四边形MENF是等腰梯形，
∴∠MEN=∠FNE，
在△MEN和△FNE中，
$\left\{\begin{array}{l}{ME=FN}\\{∠MEN=∠FNE}\\{EN=NE}\end{array}\right.$，
∴△MEN≌△FNE（SAS），
∴∠MNE=∠FEN，
∴QN=QE；
（3）解：如图2所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$×8$\sqrt{2}$=16，AB∥CD，
∴DH=BD-BH=13，$\frac{BM}{DF}=\frac{BH}{DH}=\frac{3}{13}$，
设BM=3x，则DF=13x，
由（1）得：△ABE≌△ADF，BE=DF=13x，
∴$\frac{BM}{BE}=\frac{3}{13}$，
作FG∥CE，交AB于G，
则△GFM∽△BEM，
∴$\frac{GM}{FG}=\frac{BM}{BE}=\frac{3}{13}$，
即$\frac{8\sqrt{2}-16x}{8\sqrt{2}}=\frac{3}{13}$，
解得：x=$\frac{5}{13}$，
∴BE=5，
∴CE=5+8$\sqrt{2}$，
∴DE=$\sqrt{C{E}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{（5+8\sqrt{2}）^{2}+（8\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{281+80\sqrt{2}}$．

点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线证明三角形全等和三角形相似才能得出结论．