Question

（2012•梁子湖区模拟）如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．若点M在DE上，且DC=DM，试探究线段ME与BD的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析：连接CM，求出∠DAB=∠DBA=30°，求出AD=BD，证△ADC≌△BDC，求出∠ACD=∠BCD=45°，求出∠MDC=60°，的等边三角形CMD，得出CM=CD，求出∠EMC=∠ADC=120°，证△ADC≌△EMC，推出AD=EM即可．

解答：解：连接MC，在等腰直角△ABC中，
∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°，
∴BD=AD，又AC=BC
∴△BDC≌△ADC（SSS），
∴∠DCA=∠DCB=45°，
∠EDC=∠DAC+∠DCA=15°+45°=60°，
∵DC=DM，
∴△MDC是等边三角形，即CM=CD．
又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°，
∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°，
∴∠EMC=∠ADC．
又∵CE=CA，
∴∠DAC=∠CEM=15°，
∴△ADC≌△EMC（AAS），
∴ME=AD=DB，
∴ME=BD．

点评：本题考查了等边三角形的性质和判定，直角三角形，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，但是有一定的难度．