如图.在平面直角坐标系xOy中.已知点A.抛物线y=ax2+bx+3经过A.B两点．(1)求抛物线的解所式,(2)一动点P从点C出发.沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动.同时动点Q从点B出发.沿BO以每秒1个单位长度的速度向点O运动.当点P运动到点B时.两点同时停止运动.连接PQ.如图①.设运动时间为t秒.当t为何值时.△PQB是直角三角形?(3)� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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14．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-2，0），B（4，0），抛物线y=ax²+bx+3经过A、B两点．
（1）求抛物线的解所式；
（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发，沿BO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，当点P运动到点B时，两点同时停止运动，连接PQ，如图①，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PQB是直角三角形？
（3）当t=2时，过点Q作直线l平行于y轴，与直线AC相交于点F，如图②，在这条直线l上是否存在一个以N点为圆心，ON为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心N的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）分两种情形讨论①当∠PQB=90°时，由PQ∥OC，可得$\frac{PB}{BC}$=$\frac{BQ}{BO}$，由此构建方程即可．②当∠QPB=90°时，△BOC∽△BPQ，可得$\frac{PB}{BO}$=$\frac{BQ}{BC}$，由此构建方程即可；
（3）存在．如图②中，设⊙N与AC相切于点M，连接NM，ON．设MQ=m．想办法构建方程即可解决问题；

解答解：（1）把A（-2，0），B（4，0），代入y=ax²+bx+3
得到$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+3=0}\\{16a+4b+3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{8}}\\{b=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{4}$x+3．

（2）如图①中，

①当∠PQB=90°时，∵PQ∥OC，
∴$\frac{PB}{BC}$=$\frac{BQ}{BO}$，
∴$\frac{5-2t}{5}$=$\frac{t}{4}$，
解得t=$\frac{20}{13}$．
②当∠QPB=90°时，△BOC∽△BPQ，
∴$\frac{PB}{BO}$=$\frac{BQ}{BC}$，
∴$\frac{5-2t}{4}$=$\frac{t}{5}$，
解得t=$\frac{25}{14}$，
综上所述，当t=$\frac{20}{13}$s或$\frac{25}{14}$s时，△PQB是直角三角形．

（3）存在．理由如下：
如图②中，设⊙N与AC相切于点M，连接NM，ON．设MQ=m．

∵t=2，
∴BQ=OQ=2，
在Rt△AOC中，OA=2，BC=3，
∴AC=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵OC∥FQ，
∴$\frac{OA}{AQ}$=$\frac{OC}{FQ}$=$\frac{AC}{AF}$，
∴$\frac{2}{4}$=$\frac{3}{FQ}$=$\frac{\sqrt{13}}{AF}$，
∴FQ=6，AF=2$\sqrt{13}$，
易知△FMN∽△FQA，
∴$\frac{FN}{AF}$=$\frac{MN}{AQ}$，
∴MN=$\frac{2（6-m）}{\sqrt{13}}$，
∵ON=NM，
∴[$\frac{2（6-m）}{\sqrt{13}}$]²=2²+m²，
整理得9m²+48m-92=0，
解得m=$\frac{-24+8\sqrt{23}}{9}$或$\frac{-24-8\sqrt{23}}{9}$，
∴点N坐标为（2，$\frac{-24+8\sqrt{23}}{9}$）或（2，$\frac{-24-8\sqrt{23}}{9}$）．

点评本题考查二次函数综合题、切线的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．

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B．

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C．

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D．

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A．

（8053，0）

B．

（8064，0）

C．

（8053，$\frac{12}{5}$）

D．

D、（8064，$\frac{12}{5}$）

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（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，若抛物线y=ax²+bx-8的顶点为E，P为直线AC上的一动点，当|PD-PE|值最大时，求此时点P的坐标及|PD-PE|的最大值；
（3）如图3，若点M为x轴上一点，点N为平面内一点，且满足以点B、C、M、N为顶点的四边形是矩形，请直接写出点N的坐标．