Question

20．一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象交于A（-1，$\sqrt{3}$）、B（$\sqrt{3}$，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在y轴上是否存在点P，使△AOP是等腰三角形？若存在直接写出P点的坐标；若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）因为反比例函数过A、B两点，所以可求其解析式和n的值，从而知B点坐标，进而求一次函数解析式；
（2）求出直线与y轴的交点坐标，将△OAB分割成两个三角形求面积．
（3）在y轴上存在点P，使△AOP是等腰三角形，分四种情况考虑：当AP₁=P₁O时；当OA=OP₃时；当OA=AP₂时；当OA=OP₄时；分别根据A的坐标得出OA的长，即可确定出各种情况P的坐标．

解答 解：（1）把A（-1，$\sqrt{3}$）代入y=$\frac{m}{x}$，
∴m=-$\sqrt{3}$，
∴反比例函数是y=-$\frac{\sqrt{3}}{x}$；
把B（$\sqrt{3}$，n）代入y=-$\frac{\sqrt{3}}{x}$得n=-1．
把A（-1，$\sqrt{3}$）、B（$\sqrt{3}$，-1）分别代入
y=kx+b中：
得$\left\{\begin{array}{l}-k+b=\sqrt{3}\\-\sqrt{3}k+b=-1\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=\sqrt{3}-1}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为y=-x+$\sqrt{3}$-1；
（2）由直线y=-x+$\sqrt{3}$-1可知：直线与y轴的交点坐标为（0，$\sqrt{3}$-1）
∴△AOB的面积=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-1）×1+$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-1）×$\sqrt{3}$=1；           
（3）在y轴上存在点P，使△AOP是等腰三角形，
分四种情况考虑，如图所示：

当AP₁=P₁O时，△AP₁O为等腰直角三角形，
∵A（-1，$\sqrt{3}$），
设P₁（0，x），
∴x²=1²+（$\sqrt{3}$-x）²，
解得x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
此时P₁（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）；
当OA=OP₃时，
∵A（-2，2），
∴OA=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2，
此时P₃（0，2）；
当OA=AP₂时，OP₂=2$\sqrt{3}$，
此时P₂（0，2$\sqrt{3}$）；
当OA=OP₄时，由OA=2，得到OP₄=2，
此时P₄（0，-2）．
综上，满足题意坐标为P₁（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），P₂（0，2$\sqrt{3}$），P₃（0，2），P₄（0，-2）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求函数解析式，利用了数形结合及分类讨论的思想，难度较大，解题的关键是掌握用待定系数法求函数解析式，同时第三问满足题意的点P坐标要找对、找全．