Question

如图，点C为线段AB上任意一点（不与A、B重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，CA=CD，CB=CE，∠ACD与∠BCE都是锐角且∠ACD=∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接PC．
（1）求证：△ACE≌△DCB；
（2）请你判断△AMC与△DMP的形状有何关系并说明理由；
（3）求证：∠APC=∠BPC．

Answer 1

分析：（1）证明∠ACE=∠DCB，根据“SAS”证明全等；
（2）由（1）得∠CAM=∠PDM，又∠AMC=∠DMP，所以两个三角形相似；
（3）分别过C作CH⊥AE垂足为H，C作CG⊥BD垂足为G，根据△ACE≌△DCB，可得出AE=BD，然后根据S_△ACE=S_△DCB，得出CH=CG，继而可得出结论．

解答：（1）证明：∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE=∠DCB，
又∵CA=CD，CE=CB，
∴△ACE≌△DCB．

（2）解：△AMC∽△DMP．
理由：∵△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠CDB，
又∵∠AMC=∠DMP，
∴△AMC∽△DMP．

（3）证明：分别过C作CH⊥AE垂足为H，C作CG⊥BD垂足为G，
∵△ACE≌△DCB．
∴AE=BD，
∵S_△ACE=S_△DCB（全等三角形的面积相等），
∴CH=CG，
∴∠APC=∠BPC（角平分线的性质定理的逆定理）．

点评：此题考查相似（包括全等）三角形的判定和性质，综合性较强，第三问难度较大．