Question

已知：∠DAB=120°，AC平分∠DAB，∠B+∠D=180°．

（1）如图1，当∠B=∠D时，求证：AB+AD=AC；
（2）如图2，当∠B≠∠D时，猜想（1）中的结论是否发生改变并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵∠B=∠D，∠B+∠D=180°，
∴∠B=∠D=90°，
∵∠DAB=120°，AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC=60°，
∴∠ACD=∠ACB=90°-60°=30°，
∴AC=2AD，AC=2AB，
∴2AB+2AD=2AC，
∴AB+AD=AC；

（2）猜想：不会改变．
理由如下：过点C作CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分别为E、F，
根据（1）的结论，AB+AD=AC，
∵AC平分∠DAB，
∴CE=CF，
∵∠B+∠D=180°，∠ABC+∠CBF=180°，
∴∠D=∠CBF，
在△CDE与△CBF中，，
∴△CDE≌△CBF（AAS），
∴DE=BF，
∴AD+AB=AE+DE+AB=AE+BF+AB=AE+AF，
∴AD+AB=AC．
即（1）中的结论没有发生改变．
分析：（1）根据∠B=∠D，∠B+∠D=180°，可以求出∠B与∠D都是直角，再根据∠DAB=120°，AC平分∠DAB求出∠DAC=∠BAC=60°，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得到AC=2AD，AC=2AB，整理即可得解；
（2）不会改变．过点C作CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分别为E、F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CE=CF，根据（1）的结论有AC=AE+AF，然后再证明△CDE与△CBF全等，根据全等三角形对应边相等得到DE=BF，从而得到AB+AD=AE+AF，进而得解．
点评：本题主要考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，全等三角形的判定与性质，（2）中作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．