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已知:∠DAB=120°,AC平分∠DAB,∠B+∠D=180°.

(1)如图1,当∠B=∠D时,求证:AB+AD=AC;
(2)如图2,当∠B≠∠D时,猜想(1)中的结论是否发生改变并说明理由.

(1)证明:∵∠B=∠D,∠B+∠D=180°,
∴∠B=∠D=90°,
∵∠DAB=120°,AC平分∠DAB,
∴∠DAC=∠BAC=60°,
∴∠ACD=∠ACB=90°-60°=30°,
∴AC=2AD,AC=2AB,
∴2AB+2AD=2AC,
∴AB+AD=AC;

(2)猜想:不会改变.
理由如下:过点C作CE⊥AD,CF⊥AB,垂足分别为E、F,
根据(1)的结论,AB+AD=AC,
∵AC平分∠DAB,
∴CE=CF,
∵∠B+∠D=180°,∠ABC+∠CBF=180°,
∴∠D=∠CBF,
在△CDE与△CBF中,
∴△CDE≌△CBF(AAS),
∴DE=BF,
∴AD+AB=AE+DE+AB=AE+BF+AB=AE+AF,
∴AD+AB=AC.
即(1)中的结论没有发生改变.
分析:(1)根据∠B=∠D,∠B+∠D=180°,可以求出∠B与∠D都是直角,再根据∠DAB=120°,AC平分∠DAB求出∠DAC=∠BAC=60°,然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得到AC=2AD,AC=2AB,整理即可得解;
(2)不会改变.过点C作CE⊥AD,CF⊥AB,垂足分别为E、F,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CE=CF,根据(1)的结论有AC=AE+AF,然后再证明△CDE与△CBF全等,根据全等三角形对应边相等得到DE=BF,从而得到AB+AD=AE+AF,进而得解.
点评:本题主要考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质,全等三角形的判定与性质,(2)中作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网已知AC平分∠DAB,CE⊥AB于E,AB=AD+2BE,则下列结论:①AE=
1
2
(AB+AD);②∠DAB+∠DCB=180°;③CD=CB;④S△ACE-S△BCE=S△ADC.其中正确结论的个数是(  )
A、1个B、2个C、3个D、4个

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科目:初中数学 来源: 题型:

19、开心画一画(在原图上作图,保留作图痕迹)
(1)在AD的右侧作∠DCP=∠DAB;
(2)在射线CP上取一点E,使CE=AB,连接BE.AE.
(3)画出△ABE的BE边上的高AF和AB边上的高EG.
如果已知:AB=10,BE=12,EG=6,则AF=
(直接填结果)

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,已知梯形ABCD中,BC⊥AB,∠DAB=60°,点P从点B出发,沿BC、CD边到D停止运动,设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y,y关于x的函数图象如图,则梯形ABCD的面积是(  )(杭州07中考题改编)精英家教网
A、20
B、8
3
C、6+12
3
D、12+6
3

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科目:初中数学 来源: 题型:

已知,如图,A、B、C三个村庄在一条东西走向的公路沿线上,AB=12千米,在B村的正北方向有一个D村,测得∠DAB=45°,∠DCB=28°,今将△ACD区域进行规划,除其中面积为0.5平方千米的水塘外,准备把剩余的一半作为绿化用地.
(1)求BC的长.
(2)求绿化地的面积.
(结果精确到0.1,sin28°=0.4695,sin62°=0.8829,tan28°=0.5317,tan62°=1.8808)

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科目:初中数学 来源: 题型:

已知:如图,∠DAB=∠DCB,AE、CF分别平分∠DAB、∠DCB:AE∥CF,求证:∠B=∠D.
证明:∵AE、CF分别平分∠DAB、∠DCB.
∴∠1=
1
2
∠DAB
1
2
∠DAB
.∠2=
1
2
∠DCB
1
2
∠DCB

∵∠DAB=∠DCB.
∴∠1=∠2.
AE∥CF
AE∥CF

∴∠3=∠2.
∠1=∠3
∠1=∠3

∴AB∥CD.
∠D+∠DAB=180°,∠B+∠DCB=180°
∠D+∠DAB=180°,∠B+∠DCB=180°

∵∠DAB=∠DCB.
∴∠B=∠D.

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