Question

15．如图，AD是△ABC的外接圆O的直径，AH⊥BC于H．
（1）求证：∠BAH=∠CAD；
（2）若AB=13，AH=12，AC=18，求圆心O到AC的距离．

Answer 1

分析 （1）由圆周角定理得出∠ACD=90°，由直角三角形的性质得出∠CAD+∠ADC=90°，∠ABH+∠BAH=90°，由圆周角定理得出∠ABH=∠ADC，即可得出结论；
（2）连接OC，作OE⊥AC于E，由垂径定理得出OE$\frac{1}{2}$AC=9，证明△ABH∽△AOE，得出对应边成比例求出AO=$\frac{39}{4}$，再由勾股定理求出OE=$\sqrt{A{O}^{2}-A{E}^{2}}$=$\frac{15}{4}$即可．

解答 （1）证明：连接CD，如图1所示：
∵AD是△ABC的外接圆O的直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠CAD+∠ADC=90°，
∵AH⊥BC于H．
∴∠ABH+∠BAH=90°，
∵∠ABH=∠ADC，
∴∠BAH=∠CAD；
（2）解：连接OC，作OE⊥AC于E，如图2所示：
∵OE=$\frac{1}{2}$AC=9，
∵AH⊥BC，OE⊥AC，
∴∠AHB=∠AEO=90°，
∵∠BAH=∠CAD，
∴△ABH∽△AOE，
∴$\frac{AB}{AH}=\frac{AO}{AE}$，即$\frac{13}{12}=\frac{AO}{9}$，
解得：AO=$\frac{39}{4}$，
∴OE=$\sqrt{A{O}^{2}-A{E}^{2}}$=$\frac{15}{4}$，
即圆心O到AC的距离为$\frac{15}{4}$．

点评 本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、垂径定理、勾股定理、直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理，证明三角形全等是解决问题的关键．