Question

14．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），点B（2，2$\sqrt{3}$），点C（2$\sqrt{3}$，2），点D（t，0）是线段OA上一动点，点A关于直线DC的对称点为E．若点E落在∠AOB的外部，则t的取值范围是0＜t＜2$\sqrt{3}$-2．

Answer 1

分析 如图，连接OC、BC、AE，首先证明CB=CA，OB=OC=OA，当点E在OB上时，易证△ADE是等腰直角三角形，求出此时t的值即可解决问题．

解答 解：如图，连接OC、BC、AE

∵AC=$\sqrt{（2\sqrt{3}-4）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{4（\sqrt{3}-2）^{2}+4}$=2$\sqrt{3-4\sqrt{3}+5}$=$\sqrt{（\sqrt{6}-\sqrt{2}）^{2}}$=2（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$），
BC=$\sqrt{（2-2\sqrt{3}）^{2}+（2\sqrt{3}-2）^{2}}$=2（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$），
易知OB=OA=OC=4，
∵点B（2，2$\sqrt{3}$），点C（2$\sqrt{3}$，2），
∴∠COA=30°，∠BOA=60°，
∴∠BOC=∠AOC=30°，
∴∠OBC=∠OCB=∠OCA=∠OAC=75°，
当点E在OB上时，CE=CB，
∴∠CEB=∠CBE=75°，
∴∠BCE=30°，∠ECB=120°，
∵EC=CA，
∴∠CAE=∠CEA=30°，
∴∠EAD=45°，
∵DE=DA，
∴∠DEA=∠DAE=45°，
∴∠EDA=90°，
设OD=t，则DE=AD=$\sqrt{3}$t，
∴t+$\sqrt{3}$t=4，
∴t=2$\sqrt{3}$-2，
观察图象可知，当0＜t＜2$\sqrt{3}$-2时，点E落在∠AOB的外部，
故答案为0＜t＜2$\sqrt{3}$-2．

点评 本题考查坐标与图象变化、勾股定理、等腰三角形的判定、两点间距离公式、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考填空题中的压轴题．