Question

10． 如图，点A，B为直线y=x上的两点，过A，B两点分别作y轴的平行线交双曲线y=$\frac{1}{x}$（x＞0）于C，D两点，若2BD=5AC，则OC²-$\frac{4}{25}$OD²的值为$\frac{42}{25}$．

Answer 1

分析 延长AC交x轴于E，延长BD交x轴于F．设A、B的横坐标分别是a，b，点A、B为直线y=x上的两点，A的坐标是（a，a），B的坐标是（b，b）．则AE=OE=a，BF=OF=b．根据BD=2AC即可得到a，b的关系，然后利用勾股定理，即可用a，b表示出所求的式子从而求解．

解答 解：延长AC交x轴于E，延长BD交x轴于F．
设A、B的横坐标分别是a，b，
∵点A、B为直线y=x上的两点，
∴A的坐标是（a，a），B的坐标是（b，b）．则AE=OE=a，BF=OF=b．
∵C、D两点在交双曲线$\frac{1}{x}$（x＞0）上，则CE=$\frac{1}{a}$，DF=$\frac{1}{b}$．
∴BD=BF-DF=b-$\frac{1}{b}$，AC=a-$\frac{1}{a}$．
∵2BD=5AC
∴（b-$\frac{1}{b}$）=$\frac{5}{2}$（a-$\frac{1}{a}$），
两边平方得：b²+$\frac{1}{{b}^{2}}$-2=$\frac{25}{4}$（a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$）-$\frac{25}{2}$，
∴b²+$\frac{1}{{b}^{2}}$=$\frac{25}{4}$（a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$）-$\frac{21}{2}$，
在直角△OCE中，OC²=OE²+CE²=a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$，同理OD²=b²+$\frac{1}{{b}^{2}}$，
∴OC²-$\frac{4}{25}$OD²=（a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$）-$\frac{4}{25}$（b²+$\frac{1}{{b}^{2}}$）=$\frac{42}{25}$，
故答案为：$\frac{42}{25}$．

点评 本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，根据直线与反比例函数的解析式，设出点A，B的坐标后可以得到点C，D的坐标，运用勾股定理进行计算求出代数式的值是解题的关键．