【题目】如图1,已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形,∠BAD=∠BCE=90°,点M为DE的中点.过点E与AD平行的直线交射线AM于点N.
(1)当A,B,C三点在同一直线上时(如图1),求证:M为AN的中点;
(2)将图1中△BCE绕点B旋转,当A,B,E三点在同一直线上时(如图2),求证:△CAN为等腰直角三角形;
(3)将图1中△BCE绕点B旋转到图3的位置时,(2)中的结论是否仍然成立?若成立,试证明之;若不成立,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)△ACN仍为等腰直角三角形.证明见解析.
【解析】试题分析:(1)由EN∥AD和点M为DE的中点可以证到△ADM≌△NEM,从而证到M为AN的中点.
(2)易证AB=DA=NE,∠ABC=∠NEC=135°,从而可以证到△ABC≌△NEC,进而可以证到AC=NC,∠ACN=∠BCE=90°,则有△ACN为等腰直角三角形.
(3)延长AB交NE于点F,易得△ADM≌△NEM,根据四边形BCEF内角和,可得∠ABC=∠FEC,从而可以证到△ABC≌△NEC,进而可以证到AC=NC,∠ACN=∠BCE=90°,则有△ACN为等腰直角三角形.
试题解析:(1)如图1,
∵EN∥AD,
∴∠MAD=∠MNE,∠ADM=∠NEM.
∵点M为DE的中点,
∴DM=EM.
在△ADM和△NEM中,
∴.
∴△ADM≌△NEM.
∴AM=MN.
∴M为AN的中点.
(2)如图2,
∵△BAD和△BCE均为等腰直角三角形,
∴AB=AD,CB=CE,∠CBE=∠CEB=45°.
∵AD∥NE,
∴∠DAE+∠NEA=180°.
∵∠DAE=90°,
∴∠NEA=90°.
∴∠NEC=135°.
∵A,B,E三点在同一直线上,
∴∠ABC=180°﹣∠CBE=135°.
∴∠ABC=∠NEC.
∵△ADM≌△NEM(已证),
∴AD=NE.
∵AD=AB,
∴AB=NE.
在△ABC和△NEC中,
∴△ABC≌△NEC.
∴AC=NC,∠ACB=∠NCE.
∴∠ACN=∠BCE=90°.
∴△ACN为等腰直角三角形.
(3)△ACN仍为等腰直角三角形.
证明:如图3,延长AB交NE于点F,
∵AD∥NE,M为中点,
∴易得△ADM≌△NEM,
∴AD=NE.
∵AD=AB,
∴AB=NE.
∵AD∥NE,
∴AF⊥NE,
在四边形BCEF中,
∵∠BCE=∠BFE=90°
∴∠FBC+∠FEC=360°﹣180°=180°
∵∠FBC+∠ABC=180°
∴∠ABC=∠FEC
在△ABC和△NEC中,
∴△ABC≌△NEC.
∴AC=NC,∠ACB=∠NCE.
∴∠ACN=∠BCE=90°.
∴△ACN为等腰直角三角形.
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【题目】计算:
(1)(-2xy)(3x2-2xy-4y2);
(2)(-m2n-mn+1)·(-6m3n);
(3)(-3x2y)2·(-4xy2-5y3-6x+1).
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【题目】如图,一个长5m的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为4m,如果梯子的顶端A沿墙下滑1m至C点.
(1)求梯子底端B外移距离BD的长度;
(2)猜想CE与BE的大小关系,并证明你的结论.
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【题目】在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,点D为AB的中点,M,N分别在BC,AC上,且BM=CN现有以下四个结论:
①DN=DM; ② ∠NDM=90°; ③ 四边形CMDN的面积为4; ④△CMN的面积最大为2.
其中正确的结论有( )
A. ①②④; B. ①②③; C. ②③④; D. ①②③④.
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【题目】聪聪是一位非常喜欢动脑筋的初一学生,特别是学了几何后,更觉得数学奇妙,当聪聪学完图形的初步知识后对角平分线兴趣更浓厚,下面请你和聪聪同学一起来探究奇妙的角平分线吧已知,射线OE,OF分别是和的角平分线.
如图1,若射线OC在的内部,且,求的度数;
如图2,若射线OC在的内部绕点O旋转,且,求的度数;
若射线OC在的外部绕点O旋转旋转中,均指小于的角,其余条件不变,请借助图3探究的大小,请直接写出的度数不写探究过程
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【题目】如图,某市有一块长为(3a+b)米,宽为(2a+b)米的长方形地块,中间是边长为(a+b)米的正方形,规划部门计划将在中间的正方形修建一座雕像,四周的阴影部分进行绿化,
(1)绿化的面积是多少平方米?(用含字母a、b的式子表示)
(2)求出当a=20,b=12时的绿化面积.
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【题目】已知数轴上有两点A、B,点A对应的数是40,点B对应的数是.
求线段AB的长.
如图2,O表示原点,动点P、T分别从B、O两点同时出发向左运动,同时动点Q从点A出发向右运动,点P、T、Q的速度分别为5个单位长度秒、1个单位长度秒、2个单位长度秒,设运动时间为t.
求点P、T、Q表示的数用含有t的代数式表示;
在运动过程中,如果点M为线段PT的中点,点N为线段OQ的中点,试说明在运动过程中等量关系始终成立.
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【题目】为了鼓励市民节约用水,我市居民使用自来水计费方式实施阶梯水价,具体标准见表1,表2分别是小明、小丽、小斌、小宇四家2017年的年用水量和缴纳水费情况.
表1:大连市居民自来水实施阶梯水价标准情况:
阶梯 | 每户年用水量(立方米) | 水价(含污水处理费)(元/立方米) |
第一阶梯 | 0~m(含m) | a |
第二阶梯 | m~240(含240) | 4.40 |
第三阶梯 | 240以上 | 7.85 |
表2:四个家庭2017年的年用水量和缴纳水费情况:
家庭 | 小明 | 小丽 | 小斌 | 小宇 |
用水量(立方米) | 50 | 100 | 200 | 220 |
水费(元) | 162.5 | 325 | 673 | 761 |
请你根据表1、表2提供的数据回答下列问题:
(1)写出表1中的a,m的值;
(2)小颖家2017年使用自来水共缴纳水费827元,则她家2017年的年用水量是多少立方米?
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【题目】某学校举行“每天锻炼一小时,健康生活一辈子”为主题的体育活动,并开展了以下体育项目:足球、乒乓球、篮球和羽毛球,要求每位学生必须且只能选择一项。为了解选择各项体育活动的学生人数,随机抽取了部分学生进行调查,并将获得的数据进行整理,绘制出以下两幅不完整的统计图,请根据统计图回答问题:
(1)这次活动一共调查了 名学生;
(2)补全条形统计图;
(3)求选择篮球项目的人数在扇形统计图中所占的百分比?
(4)若该学校有1500人,请你估计该学校选择乒乓球项目的学生人数约是多少人?
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