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【题目】如图1,已知BADBCE均为等腰直角三角形,∠BAD=BCE=90°,点MDE的中点.过点EAD平行的直线交射线AM于点N

(1)当ABC三点在同一直线上时(如图1),求证:MAN的中点;

(2)将图1中BCE绕点B旋转,当ABE三点在同一直线上时(如图2),求证:CAN为等腰直角三角形;

(3)将图1中BCE绕点B旋转到图3的位置时,(2)中的结论是否仍然成立?若成立,试证明之;若不成立,请说明理由.

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3△ACN仍为等腰直角三角形.证明见解析.

【解析】试题分析:(1)由EN∥AD和点MDE的中点可以证到△ADM≌△NEM,从而证到MAN的中点.

2)易证AB=DA=NE∠ABC=∠NEC=135°,从而可以证到△ABC≌△NEC,进而可以证到AC=NC∠ACN=∠BCE=90°,则有△ACN为等腰直角三角形.

3)延长ABNE于点F,易得△ADM≌△NEM,根据四边形BCEF内角和,可得∠ABC=∠FEC,从而可以证到△ABC≌△NEC,进而可以证到AC=NC∠ACN=∠BCE=90°,则有△ACN为等腰直角三角形.

试题解析:(1)如图1

∵EN∥AD

∴∠MAD=∠MNE∠ADM=∠NEM

MDE的中点,

∴DM=EM

△ADM△NEM中,

∴△ADM≌△NEM

∴AM=MN

∴MAN的中点.

2)如图2

∵△BAD△BCE均为等腰直角三角形,

∴AB=ADCB=CE∠CBE=∠CEB=45°

∵AD∥NE

∴∠DAE+∠NEA=180°

∵∠DAE=90°

∴∠NEA=90°

∴∠NEC=135°

∵ABE三点在同一直线上,

∴∠ABC=180°﹣∠CBE=135°

∴∠ABC=∠NEC

∵△ADM≌△NEM(已证),

∴AD=NE

∵AD=AB

∴AB=NE

△ABC△NEC中,

∴△ABC≌△NEC

∴AC=NC∠ACB=∠NCE

∴∠ACN=∠BCE=90°

∴△ACN为等腰直角三角形.

3△ACN仍为等腰直角三角形.

证明:如图3,延长ABNE于点F

∵AD∥NEM为中点,

易得△ADM≌△NEM

∴AD=NE

∵AD=AB

∴AB=NE

∵AD∥NE

∴AF⊥NE

在四边形BCEF中,

∵∠BCE=∠BFE=90°

∴∠FBC+∠FEC=360°﹣180°=180°

∵∠FBC+∠ABC=180°

∴∠ABC=∠FEC

△ABC△NEC中,

∴△ABC≌△NEC

∴AC=NC∠ACB=∠NCE

∴∠ACN=∠BCE=90°

∴△ACN为等腰直角三角形.

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阶梯

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水价(含污水处理费)(元/立方米)

第一阶梯

0m(含m

a

第二阶梯

m240(含240

4.40

第三阶梯

240以上

7.85

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家庭

小明

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小斌

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50

100

200

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