Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B、C的坐标分别为（－1,0），（5,0），（0,2）
【小题1】求过A、B、C三点的抛物线解析式．
【小题2】若点P从Ａ点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向B点移动，连接PC并延长到点E，使CE=PC，将线段PE绕点P顺时针旋转90°得到线段PF,连接FB．若点P运动的时间为ｔ秒，（0≤t≤6）设△PBF的面积为S．
①求S与ｔ的函数关系式．
②当ｔ是多少时，△PBF的面积最大，最大面积是多少？
【小题3】点P在移动的过程中，△PBF能否成为直角三角形？若能，直接写出点F的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【小题1】
【小题2】①s=(t－2.5)²－6.25  ②S_最大=6
【小题3】能  , t=2或t= 时,△PFB是直角三角形     

解析

解： 设抛物线的解析式为

      把（0,2）代入解析式得                                       
，　
（2）过点F作FD⊥x轴于D

①当点P在原点左侧时，BP=6－t,  OP=1－t       
在Rt△POC中，∠PCO+∠CPO=90°
∵∠FPD+∠CPO=90°
∴∠PCO=∠FPD
∵∠POC=∠FDP
∴△CPO∽△PFD                                      
∴ 
∵PF=PE=2PC
∴FD=2PO=2（1－t）                                         
∴S=                   
=t²－7t+6   (0≤t≤1)                        
=(t－2.5)²－6.25
∵1＞0
∴t≤2.5 时， s随着t增大而减小
而0≤t≤1 ∴当t=0时S_最大=6
②当点P在原点右侧时，OP=t－1，  BP=6－t
∴S△PBF=－t²+7t-6=－(t－3.5)² +6.25  (1≤t≤6)
∵－1＞0
∴t＝3.5 时， S_最大=6.25＞6
∴当t=3.5时，△PFB面积最大，最大面积为6.25.
（3）能                                                  
t=2或t= 时,△PFB是直角三角形