Question

如图：OA=12，OB=6，点P从点O开始沿OA边向A匀速移动，点Q从点B开始，开始沿BO边向点O匀速移动，它们的速度都是每秒1个单位，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么
（1）设△POQ的面积为y，求y与t的函数关系式；
（2）t为何值时，以P、Q、O三点为顶点的三角形与△AOB相似？

Answer 1

分析：（1）根据P、Q的速度，用时间t表示出OQ和OP的长，即可通过三角形的面积公式得出y，t的函数关系式；
（2）分△OPQ∽△OAB和△OPQ∽△OBA两种情况进行求解，可根据各自得出的对应成比例相等求出t的值．

解答：解：（1）∵OA=12，OB=6，由题意，得：
BQ=1×t=t，OP=1×t=t．
则OQ=6-t．
故y=

1

2

×OP×OQ=

1

2

×t（6-t）=-

1

2

t²+3t（0≤t≤6）；

（2）①若△POQ∽△AOB时，

OQ

OB

=

OP

OA

，即

6-t

6

=

t

12

，
即12-2t=t，
解得：t=4．
②若△POQ∽△BOA时，

OQ

OA

=

OP

OB

，即

6-t

12

=

t

6

，
即6-t=2t，
解得：t=2．
∵0＜t＜6，
∴t=4和t=2均符合题意，
故当t=4或t=2时，△POQ与△AOB相似．

点评：本题主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点．要注意（2）题要根据不同的相似三角形分类进行讨论．