Question

已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-

3

4

x2+bx+c交x轴于A（4，0）、B（-1，0）两点，交轴于点C．
（1）求抛物线的表达式和它的对称轴；
（2）若点P是线段OA上一点（点P不与点O和点A重合），点Q是射线AC上一点，且PQ=PA，在x轴上是否存在一点D，使得△ACD与△APQ相似？如果存在，请求出点D的坐标；如不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把A（4，0）、B（-1，0）两点代入抛物线的解析式求出b和c的值即可；
（2）在x轴上是存在一点D，使得△ACD与△APQ相似，因为∠A=∠A，则①△APQ∽△ACD或②△APQ∽△ADC，由相似三角形的性质求出符合题意的点D坐标即可．

解答：解：（1）∵抛物线y=-

3

4

x2+bx+c交x轴于A（4，0）、B（-1，0）两点
∴

- 3 4 ×16+4b+c=0 - 3 4 -b+c=0

，
解得：

b= 9 4 c=3

∴抛物线的表达式：y=-

3

4

x2+

9

4

x+3，
它的对称轴是：直线x=

3

2

；

（2）在x轴上是存在一点D，使得△ACD与△APQ相似，
理由如下：
假设在x轴上是否存在一点D，使得△ACD与△APQ相似，
∵∠A=∠A，
则①△APQ∽△ACD，
∴

AP

PQ

=

AC

CD

，
∵PQ=PA∴AC=CD
∵A（4，0），
∴D₁（-4，0）；
②△APQ∽△ADC，
∴

AP

PQ

=

AD

CD

，
∵C （0，3），PQ=PA
∴AD=CD，
∴D2(

7

8

，0)，
∴点D的坐标D1(-4，0)，D2(

7

8

，0)时，△ACD与△APQ相似．

点评：此题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及相似三角形的判定和性质．解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义求出相应的线段的长度或表示线段的长度，再结合具体图形的性质求解．