Question

12．如图，矩形ABCO中，点B的坐标为（4，2），点E为AB边上的一点，坐标为（1，2），点M为y轴负半轴上一动点，点N为x轴正半轴上一动点，且∠MEN=90°，在直线y=-10x+60上找点F，使∠BEF=∠EMN，请直接写出点F的坐标．

Answer 1

分析 分两种情况：①当F在直线AB的上方时，即为F1，作辅助线，构建直角三角形，设F₁（a，-10a+60），则EG=a-1，F₁G=-10x+60-2，先证明△AEM∽△DNE，得$\frac{EM}{NE}=\frac{1}{2}$，再证明△MEN∽△EGF，列比例式可求得点F₁的坐标；
②当F在直线AB的下方时，即为F₂，同理证明相似并得比例式，求出F的坐标．

解答 解：如图，画出直线F₁F₂：y=-10x+60，
分两种情况：①当F在直线AB的上方时，即为F₁，
延长AB，过F₁作F₁H⊥x轴于H，交AB的延长线于G，过N作DN⊥x轴，交AB的延长线于D，
设F₁（a，-10a+60），则EG=a-1，F₁G=-10x+60-2，
∵∠MEN=90°，
∴∠AEM+∠BEN=90°，
∵∠OAB=90°，
∴∠AEM+∠AME=90°，
∴∠BEM=∠AME，
∵∠OAB=∠EDN=90°，
∴△AEM∽△DNE，
∴$\frac{EM}{NE}=\frac{AE}{DN}$，
∵E（1，2），
∴AE=1，DN=2，
∴$\frac{EM}{NE}=\frac{1}{2}$，
∵∠BEF=∠EMN，∠MEN=∠EGF=90°，
∴△MEN∽△EGF，
∴$\frac{ME}{EN}=\frac{EG}{GF}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{a-1}{-10a+60-2}$=$\frac{1}{2}$，
a=5，
∴-10a+60=10，
∴F₁（5，10）；
②当F在直线AB的下方时，即为F₂，
同理得：$\frac{10a-60+2}{a-1}$=$\frac{2}{1}$，
a=7，
当a=7时，-10a+60=-10，
∴F₂（7，-10），
综上所述，点F的坐标为（5，10）或（7，-10）．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标的特征和矩形的性质，并与相似结合，根据坐标得出线段的长，利用相似列比例式，求出点F的坐标，同时采用了分类讨论的思想，属于易错题，容易丢解，注意点F在直线AB的下方时纵坐标与边长的关系．