Question

【题目】如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且AE=CD，BE与 AD相交于点P，BQ⊥AD于点Q.

（1）求证： BE=AD

（2）求证：PQ=BP

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析

【解析】

试题分析：(1)根据等边三角形的性质可得：AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°，根据SAS可证△BAE≌ACD，根据全等三角形的性质可证BE=AD；

(2)根据全等三角形对应角相等可证∠ABE=∠CAD，根据三角形外角的性质可证∠BPQ=∠ABE+∠BAD，所以可以求出∠PBQ=30°，根据直角三角形的性质可证PQ=BP.

试题解析：（1）∵△ABC为等边三角形

∴AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°

在△BAE和△ACD中

∴△BAE≌ACD（SAS），

∴BE=AD；

（2）∵△BAE≌△ACD，

∴∠ABE=∠CAD.

∵∠BPQ为△ABP外角，

∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD.

∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°，

∵BQ⊥AD，

∴∠PBQ=30°，

∴PQ=BP.