如图1.在菱形ABCD中.∠D=120°.AB=8.点M从A开始.以每秒1个单位的速度向点B运动,点N从C出发.沿C→D→A方向.以每秒2个单位的速度向点A运动.若M.N同时出发.其中一点到达终点时.另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒.过点N作NQ⊥DC.交AC于点Q．(1)当t=2 时.求线段NQ的长,(2)设△AMQ的面积为S.直接写出S与t� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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3．如图1，在菱形ABCD中，∠D=120°，AB=8，点M从A开始，以每秒1个单位的速度向点B运动；点N从C出发，沿C→D→A方向，以每秒2个单位的速度向点A运动，若M、N同时出发，其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒，过点N作NQ⊥DC，交AC于点Q．
（1）当t=2 时，求线段NQ的长；
（2）设△AMQ的面积为S，直接写出S与t的函数关系式及t的取值范围；
（3）在点M、N运动过程中，是否存在t值，使得△AMQ为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）首先求得CN的长，在直角△CNQ中利用三角函数即可求得NQ的长；
（2）当0≤t≤4时，N在CD上，首先求得CQ，则AQ长即可求得，再根据△CAB=30°，AM=t，据此即可求得△AMQ的长；
当4＜t≤8时，利用相似求得AQ的长，进而求得△AMQ的面积，得到函数解析式；
（3）若△AMQ为等腰三角形，则AM=MQ或AQ=QM或QA=AM，当AM=MQ时有△AMQ∽△ABC，求得AQ，根据相似三角形的对应边的比相等，从而列方程求得t的值；
同理当AQ=QM时有△AMQ∽△ACB，求得t的值；当QA=AM时，即可列方程求解．

解答解：（1）当t=2时，CN=2×2=4，
∵在△ACD中，AD=DC，
∴∠DCA=$\frac{180°-120°}{2}$=30°，
在直角△CNQ中，NQ=CN•tan30°=4×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
（2）由题意得，AM=t，
当0≤t≤4时，CN=2t，
∵∠D=120°，
∴∠DCA=30°，AC=8$\sqrt{3}$，
∴在Rt△CNQ中，NQ=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t，CQ=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$t，
∴当t=2时，NQ=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴AQ=AC-CQ=8$\sqrt{3}$-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$t
∴S=$\frac{1}{2}$AM•（$\frac{1}{2}$AQ）=2$\sqrt{3}$t-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t²
当4＜t≤8时，由相似三角形得$\frac{16-2（t-4）}{8}=\frac{AQ}{8×sin60°}$，
∴AQ=-$\sqrt{3}$t+12$\sqrt{3}$，
∴S=$\frac{1}{2}$•AM•（$\frac{1}{2}$AQ）=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²+3$\sqrt{3}$t；
（3）若△AMQ为等腰三角形，则AM=MQ或AQ=QM或QA=AM
当AM=MQ时有△AMQ∽△ABC，得$\frac{AQ}{AC}=\frac{AM}{AB}$，
代入AQ=8$\sqrt{3}$-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$t，得$\frac{8\sqrt{3}-\frac{4\sqrt{3}}{3}t}{8\sqrt{3}}=\frac{t}{8}$，
解得：t=$\frac{24}{7}$，符合0≤t≤4
代入AQ=4$\sqrt{3}$-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t，得$\frac{4\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}t}{8\sqrt{3}}=\frac{t}{8}$，
解得t=$\frac{12}{5}$，不符合4＜t≤8，舍去
当AQ=QM时有△AMQ∽△ACB，得$\frac{AQ}{AB}=\frac{AM}{AC}$，
代入AQ=8$\sqrt{3}$-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$t得：$\frac{8\sqrt{3}-\frac{4\sqrt{3}}{3}t}{8}=\frac{t}{8\sqrt{3}}$，
解得t=$\frac{24}{5}$，不符合0≤t≤4，舍去
代入AQ=4$\sqrt{3}$-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t，得$\frac{4\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}t}{8}=\frac{t}{8\sqrt{3}}$，
解得t=4，不符合4＜t≤8，舍去
当QA=AM时，
代入AQ=8$\sqrt{3}$-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$t解得t=$\frac{24（4-\sqrt{3}）}{13}$，不符合0≤t≤4，（舍去）
代入AQ=4$\sqrt{3}$-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$t解得t=12（2-$\sqrt{3}$），不符合4＜t≤8，（舍去）
综上所述，当t=$\frac{24}{7}$时，△AMQ为等腰三角形．

点评本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质以及三角函数，正确进行分请情况进行讨论是关键．

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