Question

如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，过A作AD⊥x轴于D，若OA=，AD=OD，点B的横坐标为
（1）求A点的坐标及反比例函数的解析式；
（2）求一次函数的解析式及△AOB的面积；
（3）在反比例函数的图象上是否存在点P使△OAP为等腰三角形？若存在，请写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设AD=x，则OD=2x，又OA=，
在Rt△AOD中，根据勾股定理得：AD²+OD²=AO²，
即x²+（2x）²=（）²，
化简得：5x²=5，解得x=1或x=-1（舍去），
所以AD=1，OD=2，
则A的坐标为（-2，1），
设反比例解析式为y=（k≠0），
把A的坐标代入反比例解析式得：k=-2，
则反比例函数的解析式为y=-；

（2）把B的横坐标x=代入反比例解析式y=-得：y=-4，
所以B的坐标为（，-4），又A（-2，1），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
将A和B的坐标代入解析式得：，
解得：，
则直线AB的解析式为：y=-2x-3，
令y=0，解得x=-，则C（-，0），故OC=，
则S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=OC•|y_{A的纵坐标}|+OC•|y_{B的纵坐标}|
=××1+××|-4|=；

（3）存在．
∵A（-2，1），且反比例函数图象关于y=-x对称，
∴当P与A关于y=-x对称时，△OAP为等腰三角形，此时P₁（-1，2）；
当P与P₁关于原点对称时，△OAP为等腰三角形，此时P₂（1，-2）；
当P与P₂关于y=-x对称时，P₃（2，-1），O、A、P三点共线，△OAP不能为等腰三角形．
分析：（1）由AD=OD，设AD=x，则OD=2x，又OA的长，在直角三角形AOD中，根据勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，确定出AD与DC的长，进而得到A的坐标，设出反比例解析式，把A的坐标代入即可确定出解析式；
（2）把B的横坐标代入（1）中求出的反比例解析式，求出B的纵坐标，确定出B的坐标，设出一次函数的解析式，把A和B的坐标代入即可确定出解析式，然后令解析式中y=0求出x的值，进而得到OC的长，而OC把三角形AOB分为两个三角形，底边都为OC，高为A和B的纵坐标，根据三角形的面积公式即可求出△AOB的面积；
（3）存在，因为反比例函数图象关于y=-x对称，所以找出A关于y=-x的对称点的坐标即为满足题意的点P₁的坐标；同理分别找出A和P₁关于原点的对称点即为P₂，P₃的坐标．
点评：此题考查了勾股定理，待定系数法求反比例解析式及一次函数解析式，以及点关于y=-x及关于原点对称点的求法，要求学生掌握反比例函数的图象与性质，在（2）求三角形面积时注意把三角形分为两个同底的三角形，结合点A和B的纵坐标，利用三角形的面积公式作出解答；第（3）问题注意把所求问题转化为求对称点的问题，找对称点的方法为：（a，b）关于y=-x的对称点坐标为（-b，-a），关于原点对称点的坐标为（-a，-b），进而利用对称的思想解决问题，同时注意把满足题意的点找全．