Question

3．已知，如图1，直线AB的解析式为y=x+b，与y轴交于点A，与x轴交于点B，P（m，n）为线段AB上一动点，作PE⊥y轴，PF⊥x轴，垂足分别为E，F，连接EF，PO．

（1）当b=5时，则A、B两点的坐标为A（0，5），B（-5，0）；
（2）设△PBO的面积为S，在（1）条件下，
①求S关于m的函数关系式；
②是否存在点P使EF最小，若存在，求出EF的最小值并直接写出此时S的值，若不存在，请说明理由；
（3）如图2另有点M（3，3），连接OM、AM，将△AOM绕点M旋转180°得到△CDM，连接AD，OC，①四边形AOCD的形状是平行四边形；②若四边形AOCD是正方形，则b=6．

Answer 1

分析 （1）由已知条件定点y=x+5，令y=0，则x=-5，令x=0，则y=5，于是得到结论；
（2）①由（1）得，OB=5，由于P（m，n）在直线AB上，得到n=m+5，求得PF=m+5，根据三角形的面积公式即可得到结论；②存在根据矩形的性质得到EF=OP，得到当OP⊥AB时，OP取得最小值，由（1）知，OA=OB，根据等腰三角形的性质得到EF的最小值是$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$；
（3）①根据旋转的性质得到AM=CM，OM=DM，根据平行四边形的判定定理得到四边形AOCD的是平行四边形；②由四边形AOCD是正方形，得到AO⊥OC，根据AO⊥x轴，得到OC在x轴上，推出CD⊥x轴，根据点M（3，3），OM=DM，得到D（6，6），于是得到结论．

解答 解：（1）当b=5时，即直线AB的解析式为y=x+5，
令y=0，则x=-5，令x=0，则y=5，
∴A（0，5），B（-5，0），
故答案为：0，5，-5，0；
（2）①由（1）得，OB=5，
∵P（m，n）在直线AB上，
∴n=m+5，
∴PF=m+5，
∴S_△PBO=$\frac{1}{2}$OB•PF，
∴S=$\frac{5}{2}$（m+5）=$\frac{5}{2}$m+$\frac{25}{2}$（-5≤m≤0）；
②存在，∵∠PFO=∠FOE=∠OEP=90°，
∴四边形PFOE是矩形，
∴EF=OP，
∵O为定点，P在直线AB上运动，
∴当OP⊥AB时，OP取得最小值，
由（1）知，OA=OB，
当OP⊥AB时，PA=PB，
∴OP=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=5$\sqrt{2}$，
∴OP=$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$，
∴EF的最小值是$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$，
此时，S=$\frac{25}{4}$；
（3）①∵将△AOM绕点M旋转180°得到△CDM，
∴AM=CM，OM=DM，
∴四边形AOCD的是平行四边形；
②∵四边形AOCD是正方形，
∴AO⊥OC，
∵AO⊥x轴，
∴OC在x轴上，
∵AO∥CD，
∴CD⊥x轴，
∵点M（3，3），OM=DM，
∴D（6，6），
∴CD=6，
∴OA=6，
∴b=6，
故答案为：平行四边形，6．

点评 本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积的计算，平行四边形的判定，正方形的性质，旋转的性质，正确的理解题意是解题的关键．