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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y=-
    14
    x2    +bx+c的图象经过点A（4精英家教网，0）、C（0，2）．
    （1）试求这个二次函数的解析式，并判断点B（-2，0）是否在该函数的图象上；
    （2）设所求函数图象的对称轴与x轴交于点D，点E在x轴上，若以点C、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，试求点E的坐标．
    分析：（1）将点A（4，0）、C（0，2）的坐标代入次函数y=-
    1
    4
    x2    +bx+c，即可求得抛物线的解析式，再将B（-2，0）坐标代入抛物线的解析式即可知道它是否在该函数的图象上；
    （2）先求出D 点坐标，再根据题中已知条件便可求出点E的坐标．
    解答：解：（1）点A（4，0）、C（0，2）的坐标代入次函数y=-
    1
    4
    x2    +bx+c；
    可得
    -
    1
    4
    ×16+4b+c=0
    c=2
    ，
    解得
    b=
    1
    2
    c=2
    ，
    ∴二次函数的解析式为y=-
    1
    4
    x2    +
    1
    2
    x+2；
    将B（-2，0）坐标代入抛物线的解析式y=-
    1
    4
    x2    +
    1
    2
    x+2可得-
    1
    4
    ×4+
    1
    2
    ×（-2）+2=0，
    点B（-2，0）在该函数的图象上；
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    （2）抛物线y=-
    1
    4
    x2    +
    1
    2
    x+2的对称轴为x=-
    b
    2a
    =1，
    ∴D点坐标为D（1，0），CD=
    		5
    ，
    ∵点E在x轴上，
    设E点坐标为E（x，0），
    由题意可知AB=4+2=6，AC=2
    		5
    ，BC=2
    		2
    ，
    ①当△ABC∽△CDE时，∴
    AB
    CD
    =
    BC
    DE
    即
    6
    		5
    =
    2
    		2
    DE
    ，
    解得DE=
    		10
    3
    ，
    ∵D点坐标为（1，0），
    ∴E点坐标为（-
    		10
    3
    +1，0）．
    ②当△ABC∽△CED时，
    AB
    CE
    =
    BC
    ED
    ，即
    6
    CE
    =
    2
    		2
    DE
    ，∴
    6
    		x2+4
    =
    2
    		2
    |1-x|
    ，
    解得，x=
    9±
    		74
    7
    ，
    ∴点E的坐标为（
    9+
    		74
    7
    ，0），（
    9-
    		74
    7
    ，0）；
    ③当△ABC∽△DEC时，
    AB
    DE
    =
    BC
    EC
    ，即
    6
    |1-x|
    =
    2
    		2
    		x2+4
    ，
    解得，x=
    -2±
    		277
    7
    ，∴点E的坐标为（
    -2+
    		277
    7
    ，0），（
    -2-
    		277
    7
    ，0）．
    点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的公式的求法和等腰三角形的性质及三角形的相似等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．
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    28、在平面直角坐标系中，点P到x轴的距离为8，到y轴的距离为6，且点P在第二象限，则点P坐标为
    （-6，8）
    ．

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    10、在平面直角坐标系中，点P1（a，-3）与点P2（4，b）关于y轴对称，则a+b=
    -7
    ．

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    在平面直角坐标系中，有A（2，3）、B（3，2）两点．
    （1）请再添加一点C，求出图象经过A、B、C三点的函数关系式．
    （2）反思第（1）小问，考虑有没有更简捷的解题策略？请说出你的理由．

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    如图，在平面直角坐标系中，开口向下的抛物线与x轴交于A、B两点，D是抛物线的顶点，O为精英家教网坐标原点．A、B两点的横坐标分别是方程x2-4x-12=0的两根，且cos∠DAB=
    		2
    2
    ．
    （1）求抛物线的函数解析式；
    （2）作AC⊥AD，AC交抛物线于点C，求点C的坐标及直线AC的函数解析式；
    （3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在一点P，使△APC的面积最大？如果存在，请求出点P的坐标和△APC的最大面积；如果不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    18、在平面直角坐标系中，把一个图形先绕着原点顺时针旋转的角度为θ，再以原点为位似中心，相似比为k得到一个新的图形，我们把这个过程记为【θ，k】变换．例如，把图中的△ABC先绕着原点O顺时针旋转的角度为90°，再以原点为位似中心，相似比为2得到一个新的图形△A1B1C1，可以把这个过程记为【90°，2】变换．
    （1）在图中画出所有符合要求的△A1B1C1；
    （2）若△OMN的顶点坐标分别为O（0，0）、M（2，4）、N（6，2），把△OMN经过【θ，k】变换后得到△O′M′N′，若点M的对应点M′的坐标为（-1，-2），则θ=
    0°（或360°的整数倍）
    ，k=
    2
    ．

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