Question

【题目】如图，已知⊙O 的半径长为2，点C为直径AB的延长线上一点，且BC=2．过点C任作一条直线l．若直线l上总存在点P，使得过点P所作的⊙O 的两条切线互相垂直，则∠ACP的最大值等于__________°．

Answer 1

【答案】45

【解析】

根据切线的性质和已知条件先证得四边形PMON是正方形，从而求得OP= ，以O为圆心，以长为半径作大圆⊙O，然后过C点作大⊙O的切线，切点即为P点，此时∠ACP有最大值，作出图形，根据切线的性质得出OP⊥PC，根据勾股定理求得PC的长，从而证得△OPC是等腰直角三角形，即可证得∠ACP的最大值为45°．

∵PM、PN是过P所作的⊙O的两切线且互相垂直，

∴∠MON=90°，

∴四边形PMON是正方形，

根据勾股定理求得，

∴P点在以O为圆心，以长为半径作大圆⊙O上，

以O为圆心，以长为半径作大圆⊙O，然后过C点作大⊙O的切线，切点即为P点，此时∠ACP有最大值，如图所示，

，

∵PC是大圆⊙O的切线，

∴OP⊥PC，∵OC=4，OP= ，

∴PC= ，

∴OP=PC，

∴∠ACP=45°，

∴∠ACP的最大值等于45°．故答案为45．