Question

1．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s速度向点c移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t．
（1）根据题意知：CQ=t，CP=4-2t；（用含t的代数式表示）
（2）t为何值时，△CPQ的面积等于△ABC面积的$\frac{1}{8}$？
（3）运动几秒时，△CPQ与△CBA相似？

Answer 1

分析 （1）结合题意，直接得出答案即可；
（2）根据三角形的面积列方程即可求出结果；
（2）设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解：①若Rt△ABC∽Rt△QPC，②若Rt△ABC∽Rt△PQC，然后列方程求解．

解答 解：（1）经过t秒后，PC=4-2t，CQ=t，

（2）当△CPQ的面积等于△ABC面积的$\frac{1}{8}$时，
即$\frac{1}{2}$（4-2t）•t=$\frac{1}{8}$×$\frac{1}{2}$×3×4，
解得；t=$\frac{3}{2}$或t=$\frac{1}{2}$；
答：经过$\frac{3}{2}$或$\frac{1}{2}$秒后，△CPQ的面积等于△ABC面积的$\frac{1}{8}$；

（3）设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，
①若Rt△ABC∽Rt△QPC则$\frac{AC}{BC}$=$\frac{QC}{PC}$，即$\frac{3}{4}$=$\frac{t}{4-2t}$，解得t=1.2；
②若Rt△ABC∽Rt△PQC则$\frac{PC}{QC}$=$\frac{AC}{BC}$，即$\frac{4-2t}{t}$=$\frac{3}{4}$，解得t=$\frac{16}{11}$；
由P点在BC边上的运动速度为2cm/s，Q点在AC边上的速度为1cm/s，可求出t的取值范围应该为0＜t＜2，
验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件．
答：要使△CPQ与△CBA相似，运动的时间为1.2或$\frac{16}{11}$秒．

点评 本题考查一元二次方程的实际运用，动点问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，掌握相似三角形的性质是解决问题的关键；特别是（3）注意分类讨论．