Question

12．如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=120°，点E是AB的中点，点F是AC上的一动点，则EF+BF的最小值是（　　）

• A． 4
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 4$\sqrt{3}$
• D． 2$\sqrt{7}$

Answer 1

分析 首先连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF．证明只有点F运动到点M时，EF+BF取最小值，再根据菱形的性质、勾股定理求得最小值．

解答 解：连接DB，DE，设DE交AC于M，连接MB，DF，延长BA，DH⊥BA于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC，BD互相垂直平分，
∴点B关于AC的对称点为D，
∴FD=FB，
∴FE+FB=FE+FD≥DE．
只有当点F运动到点M时，取等号（两点之间线段最短），
△ABD中，AD=AB，∠DAB=120°，
∴∠HAD=60°，
∵DH⊥AB，
∴AH=$\frac{1}{2}$AD，DH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AD，
∵菱形ABCD的边长为4，E为AB的中点，
∴AE=2，AH=2，
∴EH=4，DH=2$\sqrt{3}$，
在Rt△EHD中，DE=$\sqrt{E{H}^{2}+D{H}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴EF+BF的最小值为2$\sqrt{7}$．
故选D．

点评 此题主要考查菱形是轴对称图形的性质，知道什么时候会使EF+BF成为最小值是解本题的关键．