Question

（2013•山西模拟）如图，DB为半圆的直径，A为BD延长线上一点，AC切半圆于点E，BC⊥AC于点C，交半圆于点F．已知BD=4，AD=1，则CF=

2

3

．

Answer 1

分析：首先利用三角形相似的判定方法证明△AEO∽△OMB，进而求出CE与BC的长，再利用切割线定理求出CF即可．

解答：解：连接OE，做OM⊥BC，
∵BC⊥AC，OM⊥BC，
OM∥AC，
∴∠A=∠MOB，
∴∠AEO=∠OMB，
∴△AEO∽△OMB，
∴

AE

OM

=

AO

BO

，
∵OD=

1

2

BD=2，
∴A0=AD+OD=3，
∴AE=

OA2-OE2

=

5

，
解得：OM=

2 5

3

，
∴CM=OE=2，OM=CE=

2 5

3

，
∴BM=

4

3

，
∴BC=BM+CM=2+

4

3

=

10

3

，
∵CE²=CF×BC，
解得：CF=

2

3

．
故答案为：

2

3

．

点评：此题主要考查了切线的性质定理、垂径定理以及相似三角形的性质定理与判定定理，求出BC与CE的长是解决问题的关键．