Question

19．已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y₁=ax²+bx（a≠0），与x轴正半轴交于点A₁（2，0），顶点为P₁，△OP₁A₁为正三角形，现将抛物线y₁=ax²+bx（a≠0）沿射线OP₁平移，把过点A₁时的抛物线记为抛物线y₂，记抛物线y₂与x轴的另一交点为A₂；把抛物线y₂继续沿射线OP₁平移，把过点A₂时的抛物线记为抛物线y₃，记抛物线y₃与x轴的另一交点为A₃；…．；把抛物线y₂₀₁₅继续沿射线OP₁平移，把过点A₂₀₁₅时的抛物线记为抛物线y₂₀₁₆，记抛物线y₂₀₁₆与x轴的另一交点为A₂₀₁₆，顶点为P₂₀₁₆．若这2016条抛物线的顶点都在射线OP₁上．
（1）①求△OP₁A₁的面积；②求a，b的值；
（2）求抛物线y₂的解析式；
（3）请直接写出点A₂₀₁₆以及点P₂₀₁₆坐标．

Answer 1

分析 （1）①过点P₁作作P₁B₁⊥x轴，垂足为B₁．由等边三角形的性质可知可求得P₁B₁的长度，然后依据三角形的面积公式可求得△OP₁A₁的面积；
②将点A₁（2，0）、P₁（1，$\sqrt{3}$）代入抛物线的解析式，即可求得a、b的值；
（2）先利用待定系数法求得直线OP₁的解析式，然后设点P₂（a，$\sqrt{3}a$）．则y₂=-$\sqrt{3}$（x-a）²+$\sqrt{3}$a，接下来，将点A₁的坐标代入可求得a的值，从而可得到抛物线的解析式；
（3）由a₂=4，可求得点P₂（4，4$\sqrt{3}$），然后依据抛物线的对称性可求得点A₂（6，0），接下来，再求得P₃（9，9$\sqrt{3}$），A₃（12，0），最后观察所得结果找出其中的规律，依据规律可求得问题的答案．

解答 解：（1）①过点P₁作作P₁B₁⊥x轴，垂足为B₁．

∵△OP₁A₁为正三角形，
∴∠P₁OA₁=60°，P₁O=P₁A₁．
又∵P₁B₁⊥x轴，
∴0B₁=B₁A₁=1．
∴P₁B₁=OP₁×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
∴P₁（1，$\sqrt{3}$），△OP₁A₁的面积=$\frac{1}{2}$OA₁•P₁B₁=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．
②∵将点A₁（2，0）、P₁（1，$\sqrt{3}$）在抛物线y₁上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=\sqrt{3}}\\{4a+2b=0}\end{array}\right.$，解得：a=-$\sqrt{3}$，b=2$\sqrt{3}$．
（2）设直线OP₁的解析式为y=kx．
∵将P₁（1，$\sqrt{3}$）代入得：k=$\sqrt{3}$，
∴直线OP₁的解析式为y=$\sqrt{3}$x．
∵点P₂在直线OP₁上，
∴设点P₂（a，$\sqrt{3}a$）．
∴y₂=-$\sqrt{3}$（x-a）²+$\sqrt{3}$a．
∵将点A₁的坐标代入得：-$\sqrt{3}$（2-a）²+$\sqrt{3}$a=0，解得：a₁=1（舍去），a₂=4，
∴y₂=-$\sqrt{3}$（x-4）²+4$\sqrt{3}$，整理得：y₂=-$\sqrt{3}$x²+8$\sqrt{3}$x-12$\sqrt{3}$．
（3）∵a₂=4，
∴P₂（4，4$\sqrt{3}$）．
∴点A₁与D点A₂关于x=4对称，
∴点A₂（6，0）．
设P₃（b，$\sqrt{3}b$）则y₃=-$\sqrt{3}$（x-b）²+$\sqrt{3}$b．
∵将A₂（6，0）代入得-$\sqrt{3}$（6-b）²+$\sqrt{3}$b=0，解得：b₁=4（舍去），b₂=9，
∴P₃（9，9$\sqrt{3}$）．
∵A₂（6，0），点A₂与A₃关于x=9对称，
∴A₃（12，0）．
P₁（1，$\sqrt{3}$），A₁（2，0），
P₂（4，4$\sqrt{3}$），A₂（6，0），4=2²，6=2×3；
P₃（9，9$\sqrt{3}$），A₃（12，0），9=3²，12=3×4；
…
P₂₀₁₆（4064256，4064256$\sqrt{3}$），A₂₀₁₆（4066272，0）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了正三角形的性质、待定系数法求二次函数、正比例函数的解析式、二次函数的对称性，通过计算找出点“P”和点“A”的坐标变化规律是解题的关键．