Question

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，直径GH⊥AB，交AC于D，GH，BC的延长线相交于E．
（1）求证：∠OAD=∠E；
（2）若OD=1，DE=3，试求⊙O的半径；
（3）当是什么类型的弧时，△CED的外心在△CED的外部、内部、一边上．（只写结论，不用证明）

Answer 1

【答案】分析：（1）由于三角形CDE和AOD中已经有一组对顶角，那么我们可通过证明它们的外角∠AOG和∠ACB相等来证∠OAD=∠E．根据垂径定理我们不难得出弧AG=弧BG，那么根据圆周角定理我们不难得出∠AOG=∠ACB，由此可得证．
（2）我们可通过构建与OE，OD和圆的半径相关的相似三角形进行求解．连接OC，那么只要证明三角形ODC和OEC相似，即可得出关于上述三条线段的比例关系，从而求出半径，那么关键是正这两个三角形相似，已知了一个公共角，我们通过等边对等角可得出∠OAC=∠OCA，又由（1）的结果，便可得出∠OCA=∠E．由此就能证出这两三角形相似，得出OD，OE，OC三条线段的比例关系式后即可求出OC即圆的半径．
（3）其实就是看∠ACB的度数，如果∠ACB是个钝角（弧AGB是优弧）那么点O在三角形外部，如果∠ACB是个锐角（弧AGB是劣弧），那么点O在三角形内部，如果∠ACB是个直角（弧AGB是个半圆），那么点O在AB上．
解答：（1）证明：连接OB，
∵GH⊥AB，
∴．
∴∠AOG=∠GOB=∠AOB．
∵∠ACB=∠AOB，
∴∠AOG=∠ACB．
∴∠AOD=∠DCE．
又∠ADO=∠CDE，
∴∠OAD=∠E．

（2）解：连接OC，则∠OAD=∠OCA，
∵∠OAD=∠E，
∴∠OCD=∠E．
∵∠DOC=∠COE，
∴△OCD∽△OEC．
∴=．
∴OC²=OE•OD=（1+3）×1=4．
∴OC=2．
即⊙O的半径为2．

（3）解：当是劣弧时，△CED的外心在△CED的外部；
当是半圆时，△CED的外心在△CED的边上；
当是优弧时，△CED的外心在△CED的内部．
点评：本题主要考查了三角形的外心，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识点．