Question

（1）如图1，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交与点P，求证：∠P=90°+

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∠A．
（2）如图2，在上题中，如果CP是∠ACD的平分线，BP是∠ABC的平分线，那么∠P与∠A有什么关系？并证明你的结论．
（3）如图3在上题中，如果BP、CP分别是∠CBD与∠BCE的平分线，那么∠P与∠A有什么关系？直接写出关系，不必证明．

Answer 1

分析：（1）三角形的内角和为180°，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∠P=180°-

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（∠ABC+∠ACB），由此即可得出结论；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠ACD与∠PCD，再根据角平分线的定义可得∠PBC=

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∠ABC，∠PCD=

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∠ACD，然后整理即可得证；
（3）根据三角形外角平分线的性质可得∠BCP=

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（∠A+∠ABC）、∠PBC=

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（∠A+∠ACB）；根据三角形内角和定理可得∠BPC=90°-

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∠A．

解答：（1）证明：∵∠ABC与∠ACB的平分线交与点P，
∴∠PBC+∠PCB=

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（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠P=180°-

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（∠ABC+∠ACB）=180°-

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（180°-∠A）=90°+

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∠A；

（2）证明：∵BP、CP分别为∠ABC、∠ACD的平分线，
∴∠PBC=

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∠ABC，∠PCD=

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∠ACD，
根据三角形的外角性质，∠ACD=∠A+∠ABC，
∠PCD=∠PBC+∠P，
∴∠BAC+∠ABC=2（∠PBC+∠P）=2∠PBC+2∠P，
∴∠BAC=2∠P，
∴∠P=

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∠BAC，即∠P=

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∠A；

（3）BP、CP为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，∠A为x°
∴∠BCP=

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（∠A+∠ABC）、∠PBC=

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（∠A+∠ACB），
由三角形内角和定理得，∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC，
=180°-

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[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，
=180°-

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（∠A+180°），
=90°-

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∠A，即∠P=90°-

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∠A．

点评：本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和定理及三角形外角的性质是解答此题的关键．