【题目】如图,矩形ABCD中,E是BC上一点,连接AE,将矩形沿AE翻折,使点B落在CD边F处,连接AF,在AF上取点O,以O为圆心,OF长为半径作⊙O与AD相切于点P.若AB=6,BC=3,则下列结论:①F是CD的中点;②⊙O的半径是2;③AE=CE;④S阴影=.其中正确的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
①易求得DF长度,即可判定;
②连接OP,易证OP∥CD,根据平行线性质即可判定;
③易证AE=2EF,EF=2EC即可判定;
④连接OG,作OH⊥FG,易证△OFG为等边△,即可求得S阴影即可解题.
①∵AF是AB翻折而来,
∴AF=AB=6,
∵四边形ABCD是矩形,
AD=BC=3,
∴DF===3,
∴F是CD中点;
∴①正确;
②连接OP,
∵⊙O与AD相切于点P,
∴OP⊥AD,
∵AD⊥DC,
∴OP∥CD,
∴,
设OP=OF=x,则,
解得:x=2,
∴②正确;
③∵Rt△ADF中,AF=6,DF=3,
∴∠DAF=30°,∠AFD=60°,
∴∠EAF=∠EAB=30°,
∴AE=2EF;
∵∠AFE=90°,
∴∠EFC=90°-∠AFD=30°,
∴EF=2EC,
∴AE=4CE,
∴③错误;
④连接OG,作OH⊥FG,
∵∠AFD=60°,OF=OG,
∴△OFG为等边三角形;同理△OPG为等边三角形;
∴∠POG=∠FOG=60°,OH=,S扇形OPG=S扇形OGF,
∴S阴影=(S矩形OPDH-S扇形OPG-S△OGH)+(S扇形OGF-S△OFG)=S矩形OPDH-S△OFG=2×-××2×=.
∴④正确;
其中正确的结论有:①②④,3个;
故选:C.
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【题目】如图所示,在平面直角坐标系中,等腰Rt△OAB的一条直角边OA 在x轴的正半轴上,点B在双曲线上,且∠BAO=90°,.
(1)求k的值及点A的坐标;
(2)△OAB沿直线OB平移,当点A恰好在双曲线上时,求平移后点A的对应点A′的坐标.
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【题目】反比例函数y=和y=在第一象限内的图象如图所示,点P在y=的图象上,PC⊥x轴,交y=的图象于点A,PD⊥y轴,交y=的图象于点B.当点P在y=的图象上运动时,以下结论:①△ODB与△OCA的面积相等;②PA与PB始终相等;③四边形PAOB的面积不会发生变化;④当点A是PC的中点时,点B一定是PD的中点.其中一定正确的是( )
A. B. C. D.
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【题目】下面是“作出弧AB所在的圆”的尺规作图过程.
已知:弧AB.
求作:弧AB所在的圆.
作法:如图,
(1)在弧AB上任取三个点D,C,E;
(2)连接DC,EC;
(3)分别作DC和EC的垂直平分线,两垂直平分线的交点为点O.
(4)以 O为圆心,OC长为半径作圆,所以⊙O即为所求作的弧AB所在的圆.
请回答:该尺规作图的依据是_____.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,反比例函数(x>0)与正比例函数y=kx、 (k>1)的图象分别交于点A、B,若∠AOB=45°,则△AOB的面积是________.
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【题目】在△ABC中,AB=AC=2,BC=4,P是AB上一点,连接PC,以PC为直径作⊙M交BC于D,连接PD,作DE⊥AC于点E,交PC于点G,已知PD=PG,则BD=_____.
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【题目】如图,点D在⊙O的直径AB的延长线上,点C在⊙O上,AC=CD,∠ACD=120°.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为2,求图中阴影部分的面积.
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【题目】如图,在△ABC中,∠A=30°,∠C=90°,AB=12,四边形EFPQ是矩形,点P与点C重合,点Q、E、F分别在BC、AB、AC上(点E与点A、点B均不重合).
(1)当AE=8时,求EF的长;
(2)设AE=x,矩形EFPQ的面积为y.
①求y与x的函数关系式;
②当x为何值时,y有最大值,最大值是多少?
(3)当矩形EFPQ的面积最大时,将矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线CB匀速向右运动(当点P到达点B时停止运动),设运动时间为t秒,矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S,求S与t的函数关系式,并写出t的取值范围.
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【题目】已知一个不透明的袋子中装有7个只有颜色不同的球,其中2个白球,5个红球.
(1)求从袋中随机摸出一个球是红球的概率.
(2)从袋中随机摸出一个球,记录颜色后放回,摇匀,再随机摸出一个球,求两次摸出的球恰好颜色不同的概率.
(3)若从袋中取出若干个红球,换成相同数量的黄球.搅拌均匀后,使得随机从袋中摸出两个球,颜色是一白一黄的概率为,求袋中有几个红球被换成了黄球.
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