Question

4．阅读下面材料：

点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．
当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|=|OB|=|b|=|a-b|；
当A、B两点都不在原点时，
如图2，点A、B都在原点的右边，|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a=|a-b|；
如图3，当点A、B都在原点的左边，|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=-b-（-a）=|a-b|；
如图4，当点A、B在原点的两边，|AB|=|OB|+|OA|=|a|+|b|=a+（-b）=|a-b|；
回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是3，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是4；
（2）数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是-2，则点A和B之间的距离是|x+2|，若|AB|=2，那么x为0或-4；
（3）当x是-3或2时，代数式|x+2|+|x-1|=5；
（4）若点A表示的数-1，点B与点A的距离是10，且点B在点A的右侧，动点P、Q同时从A、B出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒$\frac{1}{2}$个单位长度，求运动几秒后，点Q可以追上点P？（请写出必要的求解过程）

Answer 1

分析 （1）根据数轴上两点间的距离公式进行计算即可；
（2）根据数轴上两点间的距离公式进行计算即可得到点A和B之间的距离，再根据解方程|x+2|=2，即可得到x的值；
（3）分三种情况讨论：①当x＜-2时；②当-2≤x≤1时；③当x＞1时，分别进行计算求值即可；
（4）设运动n秒后，点Q可以追上点P，再根据点B与点A的距离是10，列出方程3n-$\frac{1}{2}$n=10，解得n=4．

解答 解：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是|5-2|=3；
数轴上表示1和-3的两点之间的距离是|-3-1|=4；
故答案为：3，4；

（2）∵点A表示的数是x，点B表示的数是-2，
∴点A和B之间的距离|x-（-2）|=|x+2|；
当|AB|=2时，|x+2|=2，
解得x=0或-4；
故答案为：|x+2|，0或-4；

（3）∵|x+2|+|x-1|=5，
∴①当x＜-2时，-x-2-x+1=5，解得x=-3；
②当-2≤x≤1时，x+2-x+1=5，此方程无解；
③当x＞1时，x+2+x-1=5，解得x=2；
故答案为：-3或2；

（4）设运动n秒后，点Q可以追上点P，
∵点B与点A的距离是10，
∴3n-$\frac{1}{2}$n=10，
解得n=4，
∴运动4秒后，点Q可以追上点P．

点评 本题主要考查了数轴与实数的关系以及一元一次方程的应用，解题时注意：任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．解决问题的关键是掌握数轴上两点之间的距离公式．