Question

3．已知：矩形ABCD中，AD=2AB，点E、F分别在线段AD、CD上，满足：∠EBF=45°，点P为BF中点，连接EP．

（1）如图1，求证：∠EPB+∠BFD=180°；
（2）如图2，延长EP交BC于点M，把线段BM沿着直线EM折叠，交BF于点N，当EP=2PM时，请你探究线段PN和线段NF的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 如图，过点P作CD的平行线交BC于G，交AD于K，截取GH=AE，BM沿ME翻折至MR，过R作RQ⊥BC于Q，连结BR，BH，
（1）由题意得到PG垂直于BG，再由PG与FC平行，且P为BF中点，得到G为BC中点，得BC=2BG，由BC=2AB，得到AB=BG，利用SAS得到三角形ABE与三角形BGH全等，利用全等三角形对应角相等，对应边相等得到EB=BH，且∠ABE=∠HBG，利用等式的性质得到一对角相等，利用SAS得到三角形EBP与三角形HBP全等，利用全等三角形对应边、对应角相等得到∠BPE=∠BPH，EP=HP，由PG与DC平行，得到一对同位角相等，利用邻补角互补等量代换即可得证；
（2）以BC为x轴，AB为x轴，建立坐标系，如图所示，设BC=8a，AE=x，那么AK=AB=BG=KG=4a，EK=4a-x，继而表示出EK，KP，EP，在直角三角形EPK中，利用勾股定理表示出x，进而表示出EK，PK，根据∠RBM=∠EPK，得到tan∠RBM=tan∠EPK，求出RQ与BQ之比，进而设出RQ，BQ，在直角三角形RMQ中，利用勾股定理列出关系式，表示出RQ，BQ，进而表示出B，P，M，R坐标，利用待定系数法求出BF与RM解析式，联立表示出N坐标，求出PN与NF之比即可．

解答 解：如图，过点P作CD的平行线交BC于G，交AD于K，截取GH=AE，BM沿ME翻折至MR，过R作RQ⊥BC于Q，连结BR，BH，

（1）∵KH∥AB，∠ABG=90°．
∴∠BGK=90°，即PG⊥BG，
∵BP=FP，PG∥FC，
∴BG=CG，即BC=2BG，
∵BC=2AB，
∴AB=BG，
在△BAE和△BGH中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BG}\\{∠BAE=∠BGH}\\{AE=GH}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△BGH（SAS），
∴∠ABE=∠GBH，BE=BH，
∵∠ABG=90°，∠EBP=45°，
∴∠EBP=∠HBP=45°，
在△BEP和△BHP中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BH}\\{∠EBP=∠HBP}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△BEP≌△BHP（SAS），
∴∠BPE=∠BPH，EP=HP，
∵PG∥DC，
∴∠BPH=∠BFC，
∵∠BFC+∠BFD=180°，
∴∠BPE+∠DFP=180°；
（2）以BC为x轴，AB为x轴，建立坐标系，如图所示，
设BC=8a，AE=x，那么AK=AB=BG=KG=4a，EK=4a-x，
∵EP=2PM，EK∥GM，
∴KP=2PG=$\frac{8}{3}$a，PG=$\frac{4}{3}$a，EP=HP=PG+GH=AE+PG=x+$\frac{4}{3}$a，
∵在Rt△PEK中，根据勾股定理得：EK²+KP²=EP²，
∴（4a-x）²+（$\frac{8}{3}$a）²=（x+$\frac{4}{3}$a）²，
∴x=2a，
∴EK=2a，GM=$\frac{1}{2}$EK=a，
∵∠RBM=∠EPK，
∴tan∠RBM=tan∠EPK，即$\frac{RQ}{BQ}$=$\frac{EK}{PK}$=$\frac{2a}{\frac{8}{3}a}$=$\frac{3}{4}$，
设RQ=3y，BQ=4y，BM=RM=BG+GM=4a+a=5a，
∴在Rt△RMQ中，根据勾股定理得：MQ²+RQ²=MR²，即（4y-5a）²+（3y）²=（5a）²，
∴y=$\frac{8}{5}$a，
∴BQ=$\frac{32}{5}$a，RQ=$\frac{24}{5}$a，
∴B（0，0），P（4a，$\frac{4}{3}$a），M（5a，0），R（$\frac{32}{5}$a，$\frac{24}{5}$a），
可得直线BF解析式为：y=$\frac{1}{3}$x；直线MR解析式为：y=$\frac{24}{7}$x-$\frac{120}{7}$a，
令$\frac{1}{3}$x=$\frac{24}{7}$x-$\frac{120}{7}$，
解：x=$\frac{72}{13}$a，y=$\frac{24}{13}$a，
∴N（$\frac{72}{13}$a，$\frac{24}{13}$a），
∴$\frac{PN}{NF}$=$\frac{\frac{72}{13}a-4a}{8a-\frac{72}{13}a}$=$\frac{5}{8}$．

点评 此题属于四边形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，待定系数法确定函数解析式，勾股定理，坐标与图形性质，折叠的性质，矩形的性质，熟练掌握性质与定理是解本题的关键．