Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．

（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若tan∠ACB=，BC=2，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）相切

（2）

【解析】试题（1）连接OE．欲证直线CE与⊙O相切，只需证明∠CEO=90°，即OE⊥CE即可；

（2）在直角三角形ABC中，根据三角函数的定义可以求得AB=，然后根据勾股定理求得AC=，同理知DE=1；在Rt△COE中，利用勾股定理可以求得CO2=OE2+CE2，即(-r) 2=r2+3，从而易得r的值；

试题解析：（1）直线CE与⊙O相切

理由如下：

∵四边形ABCD是矩形，

∴BC∥AD，∠ACB=∠DAC；

又∵∠ACB=∠DCE，

∴∠DAC=∠DCE；

连接OE，则∠DAC=∠AEO=∠DCE；

∵∠DCE+∠DEC=90°

∴∠AEO+∠DEC=90°

∴∠OEC=90°，即OE⊥CE．

又OE是⊙O的半径，

∴直线CE与⊙O相切．

（2）∵tan∠ACB=，BC=2，

∴AB=BCtan∠ACB=，

∴AC=；

又∵∠ACB=∠DCE，

∴tan∠DCE=tan∠ACB=，

∴DE=DCtan∠DCE=1；

在Rt△CDE中，CE=，

连接OE，设⊙O的半径为r，则在Rt△COE中，CO2=OE2+CE2，即(-r) 2=r2+3

解得：r=