Question

1．如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°．
（1）判断CD与⊙O的关系，并说明理由．
（2）若⊙O的半径为3，AE=5，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理得到∠AOD=90°，根据平行四边形的性质证明∠ODC=90°，证明结论；
（2）根据直径所对的圆周角是直角和勾股定理计算即可．

解答 解：（1）CD是⊙O的切线，
证明：连接OD，
∵∠AOD=2∠AED，
∴∠AOD=90°，又AB∥CD，
∴∠ODC=∠AOD=90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）连接BE，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵⊙O的半径为3，
∴AB=6，又AE=5，
根据勾股定理得，BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{11}$．

点评 本题考查的是平行四边形的性质、切线的判定、圆周角定理和勾股定理，掌握经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线、同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．